Координатная плоскость

у и 2. Приняв вектор F—AB за диагональ, построим на нем прямоугольный параллелепипед с расположением граней параллельно координатным плоскостям хОу, xOz, yOz и получим искомые сос-

ронами dx, dy, dz, параллельными координатным плоскостям

Если около точки М (х, у, г), произвольно взятой внутри деформированного упругого тела, сечениями, параллельными координатным плоскостям, выделить элементарный параллелепипед (рис. 2.8), то по его граням будут действовать нормальные и касательные напряжения: а„ ау, о2, т,,, т,у,, тда, тгГ, ^гх' ^хг- Для касательных напряжений, действующих по граням параллелепипеда, также справедлив закон парности касательных напряжений :

углов а, р и у, составленных нормалью с осями координат. Эти косинусы для краткости записи обозначим: cosa = /, cosp =*= т, cosy = п. Если площадь наклонной грани равна dF, то площади граней, параллельных координатным плоскостям, определяются выражениями:

цей (рис. 3.6, а), а материалы с хаотической ориентацией нитевидных кристаллов в объеме имеют модифицированную изотропную матрицу (рис. 3.6,6). Последний тип матрицы присущ композиционным материалам, межслоиные связи в которых создаются дискретными элементами, образованными в результате предварительной термообработки полимерной матрицы с последующим насыщением ее пиро-углеродом. Рассмотренный принцип выделения структурных элементов может быть применен и к другим, более сложным структурам. Для материалов с более сложными схемами армирования повторяющиеся элементы, в отличие от рассмотренных, могут располагаться не параллельно координатным плоскостям, а под различными углами к ним (рис. 3.7).

Две оставшиеся компоненты g и т], характеризующие .влияние поперечных к плоскости 2 3 касательных напряжений на деформации в ней, зависят от угла поворота осей ф, что потребовало к свойству осевой симметрии материала добавить приставку «квази». Между компонентами и т), относящимися к координатным плоскостям 1 2 и 13, должен существовать взаимный переход их значений при угле поворота, меньшем чем я/2. Так как ось 1 является осью симметрии третьего порядка (упругие свойства материала при повороте вокруг нее на 120° сохраняются), угол между компонентами и ц равен л/6. Действительно, преобразованием компонент тензора податливости нетрудно убедиться, что

Для нахождения составляющих уравнения (1-22) выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (рис. 1-11). Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.

Поступая аналогичным образом в плоскостях, параллельных другим координатным плоскостям, получим два других необходимых условия

ast плоскость е = const расположена под углом к координатным плоскостям aot и sot (рис. 18, б), в которых расположены параметрические кривые а(^) и &(t) (рис. 18, г и а).

ортогональных площадках, проходящих через точку А и параллельных координатным плоскостям, называются компонентами напряжения в точке А в системе осей хуг. Ниже будет показано, что напряжения, действующие на всех площадках, проходящих через точку напряженного тела, можно рассматривать как некоторый единый объект — тензор напряжения. Именно поэтому в термине «компоненты напряжения» последнее слово применено в единственном числе. Каждый из компонентов в различных точках тела, вообще говоря, различен, т. е. является функцией координат точек тела:

В окрестности точки С напряженного тела, связанного с системой осей xyz, вырежем бесконечно малый тетраэдр (рис. 5.2), у которого три грани параллельны координатным плоскостям, а четвертая имеет ориентацию, характеризуемую нормалью v, направляющие косинусы которой в системе осей xyz суть /, т, «.Так как

Призматическое тело (рис. 4.1, а) контактирует с базовой поверхностью хОу в точках /, 2, 3, следовательно, оно лишено трех степеней свободы: перемещения вдоль оси z и вращения относительно осей х и у. Координатная плоскость хОу может быть очень неровной, с выступами и углублениями. Все равно призма при ее установке найдет три базовые точки на этой плоскости и займет определенное положение.

Действительно, координатная плоскость ху выбрана нами таким образом, что г-компоненты как силы, так и начальной скорости равны нулю, а поэтому нет никаких причин, которые бы заставили планету выйти из этой плоскости. Сила при этом будет направлена по линии, соединяющей планету с Солнцем, как это показано на рис. 9.30. Из этого рисунка видно, что горизонтальная компонента силы так относится к полной ее величине, как

динной плоскости. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы координатная плоскость хОу совпадала со срединной плоскостью до деформации (рис. 2.47); ось Ог направим вниз.

Призматическое тело (рис. 4.1, а) контактирует с базовой поверхностью хОу в точках /, 2, 3, следовательно, оно лишено трех степеней свободы: перемещения вдоль оси z и вращения относительно осей х и у. Координатная плоскость хОу может быть очень неровной, с выступами и углублениями. Все равно призма при ее установке найдет три базовые точки на этой плоскости и займет определенное положение.

Материал имеет плоскость симметрии, если жесткость двух образцов, симметричных относительно этой плоскости (являющихся взаимным зеркальным отражением) одинакова. Если координатная плоскость ~'х ^2 является плоскостью симметрии, коэффициенты ац, входящие в равенства (16), имеют вид

Основным видом испытания являлось внутреннее осесимметричное давление (точка 6 на луче а', изображенная на рис. 4.8). На рис. 4.9, а и б изображена координатная плоскость ох— °У (txy — 0) для труб «Т» и «П». На этом рисунке сплошной линией нанесен след пересечения поверхности прочности, построенной по критерию, с координатной плоскостью вх—ау, т. е. предельная кривая в плоскости, где изображены , случаи совпадения направлений действия

В качестве второго примера рассмотрим задачу поперечного изгиба тонкой пластины. Пластину толщиной h отнесем к прямоугольной системе координат так, чтобы координатная плоскость ху совпала со срединной плоскостью пластины (рис. 2.3, а). При малых прогибах пластины ее срединную плоскость можно считать нерастяжимой.

Определим уравнение боковой поверхности зуба колеса в системе S^ Будем сначала искать это уравнение для правой стороны зуба, если смотреть на него вдоль в сторону вершины делительного конуса, расположенного вершиной вверх. Для этой цели введем несколько вспомогательных систем координат, которые свяжем с делительным конусом колеса (рис. 2). В системе координат S05 координатная плоскость xobz05 является боковой поверхностью зуба колеса, поэтому ее уравнение в этой системе будет

Решая систему из трех линейных уравнений (11 ,13 и 15), получим координаты х2, у%, z2 нормального сечения зуба шестерни. В системе S2 проекции этого сечения получаются в искаженном виде, поэтому определим его координаты в секущей плоскости, для чего найдем формулы перехода между системами S2 и S01, воспользовавшись формулами (26 и 2в), подставив в них X = 00°, $t — 0> и формулами преобразования между системами S2 и Sj. При этом надо иметь в виду, что система S0i жестко связана с системой S2. В системе Soi координатная плоскость является секущей, поэтому сечение здесь получается неискаженным. После преобразований найдем

В качестве иллюстрации метода Г. С. Калицына произведем составление матричного уравнения пространственного четырех-звенного кривошипно-коромыслового механизма (рис. 30). Выберем неподвижную систему координат Oxyz с началом в точке пересечения продольной оси О А кривошипа и оси Ох его вращения. Координатная плоскость хОу ориентирована параллельно оси С вращения коромысла ВС. Полагаем, что продольные оси кривошипа ОА и коромысла ВС перпендикулярны соответствующим осям вращения. Это предположение не нарушает общности решения задачи с точки зрения кинематики. Введем обозначения: а, Ь, с — длины кривошипа О А, шатуна АВ, коромысла ВС; хс, ус, zc — координаты точки С относительно'неподвижной системы координат Oxyz; х — угол, образованный осью вращения коромысла ВС с осью абсцисс; Ф — угол, составленный продольными осями пальца ВК и шатуна АВ;

а новое положение системы координат будет Cx1y7z7. Введем обозначение X угла, составленного коромыслом ВС с координатной плоскостью хОу. Поворотом системы координат Cx7r/,z, вокруг оси Сг/7 на угол % переводим ее в положение Cxsysz8 (на рис. 30 не показано), при котором координатная плоскость хнСуа параллельна плоскости хОу. Соответствующая матрица вращения