Координат определяющих

пия. При атом методе выбирают некоторое число систем координат, достаточное для математического описания геометрической формы звеньев и относительного движения звеньев в каждой кинематической паре. Число систем координат определяется числом элементов звеньев, образующих кинематические пары. Неподвижная система координат х("} у("} г("} связана со стойкой. В каждой кинематической паре выбирают две системы координат (способ 1) или одну систему координат (способ 2). При 1-м способе две системы координат относятся к элементам пары звеньев, образующих эту пару. При втором способе каждой кинематической паре соответствует прямоугольная система координат, одна из осей которой связана с характерными признаками звена, например осевой линией. Для примера на рис. 3.41, а показаны координатные оси OAJ), ()->x{2\ О:(.х(!, ()\х<>] (или О,,*'"') четырехзвенной открытой кинематической цепи из звеньев /, 2, 3, 4, моделирующей структуру руки человека (рис. 3.41, 6). Ось г'" направляют вдоль оси пары, а ось г/'1 дополняет правую систему координат ()(1]х(1]у(1}г{п.

при рассмотрении голономных систем, движение которых стеснено механическими связями, возможен самый разнообразный выбор обобщенных координат. Так, в примере, представленном на рис. IV. 3, б, обобщенной координатой (как уже было указано) может служить либо координата у точки, либо ее координата х, либо дуга вдоль параболы (отсчитанная с учетом знака от какой-либо начальной точки, например от начала координат), либо угол, образованный лучом, проведенным из начала координат к материальной точке, и осью абсцисс, и т. д. Для примера, представленного на рис. IV.5, различный выбор возможных систем обобщенных координат определяется тем, каким образом фиксируется, во-первых, положение одной точки и, во-вторых, положение второй точки относительно первой. На рис. IV.9 приведены примеры различных способов введения обобщенных координат. На рис. IV.9, а в качестве обобщенных координат выбраны декартовы координаты xt и г/х первой точки и угол if>, образованный прямой, соединяющей две точки системы, и горизонталью (<7i = *i> qz = y-L, Я-л~^}\ на рис. IV.9, б обобщенными координатами служат полярные координаты первой точки и угол для определения положения второй точки (<7i = ''i> <72~=ф> Уз — ^)'* на рис. IV.9, в —декартовы координаты второй точки и угол, образованный прямой, соединяющей две точки системы, с вертикалью, проведенной через вторую точку (qi = x^ Цч, = у^ fo^9)-Разумеется, в этом примере возможен и иной выбор обобщенных координат.

Пусть подвижная система координат имеет начало в центре масс материальной системы и движется поступательно. Тогда положение i'-й точки системы в неподвижной системе координат определяется радиусом-вектором

Координатный способ. В этом способе с выбранным телом отсчета жестко связывают определенную систему координат (декартову, косоугольную или криволинейную). Выбор той или иной системы координат определяется рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить само решение. Ограничимся здесь* декартовой системой координат х, у, z.

ния. При этом методе выбирают некоторое число систем координат, достаточное для математического описания геометрической формы звеньев и относительного движения звеньев в каждой кинематической паре. Число систем координат определяется числом элементов звеньев, образующих кинематические пары. Неподвижная система координат х(0)у(0>z{a} связана со стойкой. В каждой кинематической паре выбирают две системы координат (способ 1) или одну систему координат (способ 2). При 1-м способе две системы координат относятся к элементам пары звеньев, образующих эту пару. При втором способе каждой кинематической паре соответствует прямоугольная система координат, одна из осей которой связана с характерными признаками звена, например осевой линией. Для примера на рис. 3.41, а показаны координатные оси 0\x(t\ Очх('2\ Озх(Л\

Угол наклона а^. вектора Р.™, к оси х неподвижной системы координат определяется из рис. 68:

точки относительно некоторой четырехмерной системы координат. Для составления матрицы преобразования однородных координат необходимо составить уравнения преобразования однородных координат, которые могут быть построены на основе преобразования систем декартовых координат в трехмерном пространстве. Пусть положение начала первой декартовой системы координат определяется во второй системе координат а, Ь, с, а относительный поворот координатных осей — направляющими косинусами ты (k, I = 1, 2, 3). Как известно, преобразование координат какой-либо точки из первой системы X^Y^Z^ во вторую систему XYZ в общем случае относительного движения систем координат определяется уравнениями вида:

Окружное напряжение 53 зависит только от Я, поскольку деформация сдвига отсутствует; зависимость Я от координат определяется подстановкой R = г/Я в формулу (125) :

Для основного случая, когда пластина нагружена только контурными усилиями, фиктивная поперечная нагрузка pf в полярной системе координат определяется выражением

Простейшим примером такого тензора является тензор преобразования координатных систем. Пусть одна система координат определяется тройкой взаимно ортогональных ковариантных векторов хь х2, х3, другая — тройкой взаимно ортогональных векторов контравариантных х, х2, х3. Известно, что преобразование первой системы координат во вторую осуществляется по равенствам

При таком выборе параметров преобразование i-й системы в /-ю систему координат определяется матрицей движения Мц — = 1%Каждая из независимых между собой координат, определяющих положение всех звеньев механизма относительно стойки, называется обобщенной координатой механизма.

Неравенство (11.2) устанавливает только максимально возможную величину силы трения покоя, так как сила трения является слагающей пассивной реакции связи и ее сначала неизвестное направление определяется в дальнейшем только активными силами. Из этого неравенства также следует, что сила трения покоя имеет всегда такую величину, которая необходима для предотвращения скольжения тел одного относительно другого, но не может превзойти некоторого предельного значения. Если бы трение отсутствовало, то равновесие было бы возможно при вполне определенных значениях сил или координат, определяющих положение тела. При трении имеется целая область положений равновесия и бесконечное множество значений активных сил, при которых имеет место равновесие.

Чтобы избежать неопределенности, условимся о следующем: положение каждой из двух связанных систем должно определяться при помощи одной из тех двух координат, которыми определяется положение исходной системы с двумя степенями свободы. Зафиксируем значение первой из двух координат, определяющих положение системы с двумя степенями свободы; тогда мы получим систему с одной степенью свободы, положение которой определяется второй из этих двух координат. Затем, зафиксировав значение второй из двух координат системы с двумя степенями свободы, мы получим систему с одной степенью свободы, положение которой определяется при помощи первой из двух координат. Для того чтобы выполнить эту процедуру, нужно закрепить тело так, чтобы эта координата не могла изменяться (в частности, можно закрепить тело в таком положении, в котором эта координата равна нулю).

Каждая из независимых между собой координат, определяющих положение всех звеньев механизма относительно стойки, называется обобщенной координатой механизма.

Неравенство (11.2) устанавливает только максимально возможную величину силы трения покоя, так как сила трения является слагающей пассивной реакции связи и ее сначала неизвестное направление определяется в дальнейшем только активными силами. Из этого неравенства также следует, что сила трения покоя имеет всегда такую величину, которая необходима для предотвращения скольжения тел одного относительно другого, но не может превзойти некоторого предельного значения. Если бы трение отсутствовало, то равновесие было бы возможно при вполне определенных значениях сил или координат, определяющих положение тела. При трении имеется целая область положений равновесия и бесконечное множество значений активных сил, при которых имеет место равновесие.

Расчетные модели систем. Сложность теоретического анализа колебаний механической системы зависит преимущественно от числа степеней свободы — числа независимых координат, определяющих однозначно положения всех материальных точек системы.

Общее число координат, определяющих положение п подвижных звеньев механизма, равно 6/г. Каждая одноподвижная кинематическая пара дает пять уравнений связи, в которые входят координаты звеньев, каждая двухподвижная — четыре уравнения и т. д. Если все уравнения связи независимы, т. е. ни одно из них не может быть получено как следствие других, то разность между общим ЧИСЛОМ

Определим количество параметров, которыми можно задаваться при решении уравнений (17.9) — (17. 12). В эти уравнения входят Зп неизвестных (п неизвестных масс, сосредоточенных в замещающих точках и 2п координат, определяющих положение этих точек на плоскости). Количество уравнений, необходимых для определения неизвестных, равно четырем. Число параметров р, которыми можно задаваться,

Для определения числа степеней свободы механизма с голономными связями достаточно найти общее число координат, определяющих положения всех звеньев механизма, и число уравнений, связывающих эти координаты. Разность между этими числами дает число независимых координат, если все уравнения связи независимы, т. е. ни одно из них не может быть получено как следствие других.

Общее число координат, определяющих положение п подвижных звеньев механизма, равно 6«. Каждая одноподвижная кинематическая пара дает 5 уравнений связи, в которые входят координаты звеньев; каждая двухподвижная — 4 уравнения, трехподвижная — 3 уравнения и т. д. Общее число этих уравнений равно

Выбор начальных звеньев при определении положений звеньев механизма. За обобщенные координаты механизма можно принимать любую совокупность независимых координат, определяющих положение всех звеньев механизма относительно стойки. Отсюда следует, что в выборе начальных звеньев, т. е. звеньев, которым приписывается одна или несколько обобщенных координат механизма, возможен некоторый произвол. При определении положений звеньев механизма не обязательно, чтобы начальные звенья совпадали с входными. В частности, удобно за начальные принимать те звенья, при которых наивысший класс структурных групп, входящих в состав механизма, оказывается минимальным. Например, в механизме, схема которого показана на рис. 18, при начальном звене / (или звене 3) имеются две двухповодковые группы 2—3 и 4—5 (или 1—2 и 4—5), а при начальном звене 5 — одна трехповодковая группа (группа третьего класса). С повышением класса группы увеличивается трудоемкость построений или вычислений, необходимых для определения положений звеньев группы, поэтому за начальные звенья целесообразно выбирать или звено /, или звено 3.