Координат поверхности

пространственной декартовой системы координат, поскольку время не зависит от системы координат. Поэтому под преобразованием проекций вектора в его определении понимается преобразование в соответствии с формулой (6.20). Непосредственно видно, что трехмерное перемещение точки удовлетворяет этому определению, т. е. перемещение является вектором. Поскольку преобразования (6.20) не зависят от интервала времени At, скорость точки и разность скоростей точки через промежуток времени А< также являются векторами. Следовательно, и ускорение точки — вектор.' Аналогично может быть проанализирован векторный характер и других величин классической физики.

В релятивистской физике для анализа векторного характера величин нельзя ограничиться тремя пространственными измерениями, поскольку в этом случае время зависит от системы координат и входит в преобразования наравне с пространственными координатами, т. е. при определении векторов необходимо рассматривать преобразования вида (6.20), но для четырех независимых проекций радиуса-вектора. Это означает, что векторы должны в этом случае характеризоваться четырьмя проекциями, т. е. в релятивистской теории речь идет не о трехмерных векторах, а о четырехмерных. Определяются же они аналогично трехмерному случаю классической физики, но на основе релятивистских преобразований пространственных координат и времени (см. § 13).

Поскольку операция деления на вектор не определена, в равенство (6.4) введены проекции ее на координатные оси. Это дает возможность определить передаточные отношения — частные производные функций положения выходного звена по скалярным параметрам.

Изохоры на диаграммах s—T и s—i наносят, пользуясь таблицами пара, находя по ним для одних и тех же удельных объемов пара соответствующие значения s и Г. На рис. 10-5 показана схематически и без изохор диаграмма s—i, построенная от начала координат. Поскольку диаграммой s—i пользуются при тепловых расчетах, в которых пользоваться частью диаграммы, охватывающей область

Это говорит о том, что в системе координат s—i производная di/ds равна тангенсу угла наклона изобары к оси s. В области влажного пара в пределах значений х=0 до х=1, т. е. между двумя пограничными кривыми, температура Т для каждого давления .остается неизменной, следовательно, в этой области тангенса угла наклона изобары также остается неизменным, т. е. изобара представляет собой прямую линию, являясь одновременно и изотермой. Поскольку в этой области большему давлению соответствует большая температура, а следовательно, и больший тангенс угла наклона к оси s, постольку чем выше давление, тем круче идет изобара.

связи частицы с матрицей критериальная линия смещается к началу координат. Для идеализированной структуры с высокой прочностью связи частиц с матрицей и однородным распределением частиц по размерам линия зарождения пор смещается от начала координат, поскольку зарождение пор в такой структуре требует высоких напряжений и деформаций. В материалах с высоким содержанием частиц деформация зарождения может составлять большую часть общей деформации. В этом случае зарождение должно носить кумулятивный характер, заключающийся в мгновенном отделении частиц от матрицы, причем этот процесс должен распространяться на частицы всех размеров. Результаты недавней работы Браунрига и Спицига [393] показывают, однако, что предположение о кумулятивном характере зарождения пор в материалах с большим содержанием частиц не Подтверждается. Обнаружено, что при наложении гидростатического давления, задерживающего отслоение частиц, число отслоившихся частиц растет незначительно с ростом деформации до разрушения (рис. 5.8). Такая зависимость от наложенного давления означает, что зарождение пор не носит кумулятивного характера, является непрерывной функцией деформации, а «фронт зарождения пор» движется через все распределение частиц в зависимости от наложенного гидростатического

где L и G относятся соответственно к локальной и глобальной системам координат. Поскольку работа не должна зависеть от выбора системы координат, то

Поскольку это равенство должно, выполняться при любых перемещениях, то преобразование сил из локальной в глобальную систему координат должно иметь вид

Геометрическая интерпретация критерия разрушения сразу делает ясными приведенные выше основные требования, которые следует предъявлять к математической модели разрушения. В частности, критерий разрушения должен быть инвариантным по отношению к преобразованиям координат, поскольку условие начала разрушения является внутренней характеристикой материала, в то время как значения компонент тензора напряжений зависят от выбора системы отсчета.

Выбираем для построения графика точки ц=1, 3, Б, и 7 и определяем во всех девяти точках логарифмы ординат, поместив их в 4-й строке таблицы. Четыре точки нанесены на график, показанный на рис. 21. Прямая на этом графике должна проходить через начало координат, поскольку при (г = 0 имеем г (0) = 1 и lg г (0) = 0.

Решение. В таблице 17.12 приведены выражения для кинетической и потенциальной энергий для 2—5 вариантов систем обобщенных координат. Поскольку получение дифференциальных уравнений движения при наличии выражений для Т и U было показано в примере 17.28 и в принципе оно не представляет сложности; здесь опущены промежуточные преобразования и сразу приведены дифференциальные уравнения для случая свободных колебаний, которые также помещены в таблицу 17.12. Для большей наглядности в таблицу 17.13 помещены матрицы А и С всех вариантов (2—6).

поверхности твердого тела как функцию координат и времени. Согласно граничным условиям второго рода задается плотность теплового потока (или составляющая градиента температуры, нормальная к поверхности тела) на поверхности тела в виде функции координат поверхности тела и времени. Граничные условия третьего рода — задание температуры жидкой или газообразной среды, окружающей твердое тело, и закона теплообмена между телом и рабочей средой.

характеризующих его износ и не зависящих ;от координат поверхности трения: 7i_2 — const — износ сопряжения и YI = const — износ вращающегося цилиндра. Цилиндр будет иметь равномерный износ по поверхности трения вследствие условий изнашивания.

Таким образом, поставленная задача о восстановлении напряженно-деформированного состояния упругого тела по известному вектору перемещений на части поверхности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.9). Исходная информация, необходимая для однозначного нахождения неизвестного вектора реакций или нагрузки, в общем случае должна включать в себя данные о всех трех компонентах вектора перемещений на поверхности измерений. Но во многих случаях эффективному измерению поддаются лишь отдельные компоненты вектора перемещений. Например, при тензометрических исследованиях натурных конструкций или их моделей находят величины относительных удлинений (деформаций) в точках поверхности, что позволяет после предварительной обработки дискретных данных измерений (интерполирование, сглаживание и т.п.), путем интегрирования эпюр деформаций построить в локальной системе координат поверхности эпюры компонент вектора перемещений, касательных к поверхности измерений, В то же время нормальная к поверхности компонента вектора перемещений не может быть определена тензометрическими методами. В таких случаях определение неизвестного вектора напряжений может быть осуществлено по двум или даже одной компоненте вектора перемещений, при этом искомый вектор напряжений может восстанавливаться не однозначно. Это связано с возможностью появления нетривиальных решений для неполной системы однородных уравнений (3.9). В некоторых случаях характер нетривиальных решений можно предсказать. Выбор того или иного решения может быть осуществлен на основании некоторой дополнительной информации (например, информации о величине искомого вектора в какой-либо одной точке) или исходя из общих представлений о напряженном состоянии исследуемой конструкции.

расстояние от точки М до начала координат. Поверхности уровня — = с или х^-^-у^ -f- z$=( — \ =*

Привязочная система контура или группы контуров. Совокупность объектов задается на плоскости положением привязочной системы, которая состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых 1 и 2 (рис. 25). Прямые 1 и 2 рекомендуется выбирать таким образом, чтобы они совпадали с размерными базами, от которых проставлено наибольшее количество размеров. Если плоский контур участвует в образовании плоской фасонной поверхности вращения, фасонной линейчатой или конусной поверхности, прямая 2 совпадает с осью OZ привязочной системы координат поверхности. Прямая / совпадает с осью OY для плоской, линейчатой и конической поверхностей и с осью ОХ для фасонной поверхности вращения. Это связано с тем, что ось ОХ направляется, как правило, в тело детали.

Угловые величины а, р, (у> задающие пространственную ориентацию, определяются в процессе выполнения следующей процедуры. В начальном положении направления осей системы координат поверхности совпадают с направлениями осей базы пространственной ориентации ?угл- Затем последовательно выполняются повороты системы координат поверхности вокруг оси OZ на угол у, оси О У на угол р и оси ОХ на угол а. Углы поворота а, Р, у отсчитываются в направлении против часовой стрелки от начального положения, если смотреть со стороны положительного направления оси, вокруг которой выполняется поворот.

Набор сведений, необходимых для определения пространственной ориентации осей системы координат поверхности, приведен в табл.19.

цией ц — — , где е = const ; /•=. У х1 + у* 4- г1" -расстояние от точки М до начала координат. Поверхности уровня — = с или jr'+уЧ-г1 -

Граничными условиями первого рода чаще всего пользуются тогда, когда из опыта получена температура поверхности тела в функции времени и координат поверхности. Определению подлежит либо температурное поле в теле, либо поток тепла через поверхность тела.

Сначала, исходя из тензорного представления пограничного слоя, с помощью тензоров составляются уравнения импульсов в обобщенных криволинейных координатах, для которых поверхность тела является координатной поверхностью. В качестве специальных координат поверхности тела выбираются координатные линии, являющиеся линиями тока и их ортогональными траекториями.

Внешние нагрузки. В процессе эксплуатации неметаллические части оболочек испытывают воздействие неравномерного внешнего давления и нагревания. Поперечные Qx, Qy и осевая N силы, изгибающие моменты Мх, Му в каждом сечении оболочек определяются разностью давлений на их нижние (рн.н) и верхние (рн.в) поверхности и инерционными силами. Кроме того, на оболочки действуют нагрузки, возникающие из-за разности давлений на поверхности и внутри данных оболочек, а также из-за разности давлений на поверхностях и во внутренних замкнутых объемах и порах стенок. Величины давлений рн.н и рн.в, а также плотности теплового потока q обусловлены в основном условиями эксплуатации и являются функциями координат поверхности и времени.