Координат рассмотрим

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной Движущейся в нем точки — она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона—• Якоби в каждый момент определяет функцию S*, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S* зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас? Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью?

произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно. Абсолютная величина этого произведения не изменяется, т. е. ху = — Xji/j. Очевидно, то же имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dFxy, представляющей собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90° меняется на противоположный, т. е.

Расположим обе системы отсчета—вращающуюся х', у', z' и «неподвижную» х, у, г —так, чтобы оси г' и z совпадали с направлением оси, вокруг которой происходит вращение с постоянной угловой скоростью со (рис. 155). Переходя от координат рассматриваемой точки х', у', г' во вращающейся системе отсчета к координатам этой же точки х, у, z в «неподвижной» системе отсчета и выразив их как функции времени, мы смогли бы дифференцированием найти «абсолютную» скорость и «абсолютное» ускорение, подобно тому как это было сделано для поступательного переносного движения. Однако мы применим более наглядные приемы рассмотрения.

После пуска электродвигателя груз начинает вращаться, поворачивается в противоположном направлении и платформа /. Вращение платформы вызывает ее подъем, вследствие чего сила тяже-стя стремится вернуть платформу в нижнее положение. Положение поворачивающейся платформы определяется углом фь а отклонение каната от вертикального положения углом а (рис. 184). В качестве обобщенных координат рассматриваемой системы примем угол ф? поворота колеса 7 (см. рис. 183) и угол фх поворота платформы.

Примем вектор q обобщенных координат рассматриваемой системы в виде

Векторы ключевых координат рассматриваемой зубчатой передачи при учете упругих свойств валов и подшипниковых опор

где V = (Vi, V2, VS)T — g-мериый вектор обобщенных координат рассматриваемой модели, V,, V2, V3 — векторы нормальных координат локальных моделей подсистем Д, ПМ, РМ соответственно размерностей п, г, т, D\ ^Cj1', c% , ..., Сп+г, 0, ..., 0 )

Через любой мысленно выделенный в среде замкнутый объем проходят в каждый момент времени электромагнитные волны всех частот во всевозможных направлениях. С точки зрения квантовых представлений объем заполнен фотонами различных частот (следовательно, и энергий), движущихся со скоростью света в вакууме по всевозможным направлениям. Для того чтобы иметь возможность точно оценить результирующий перенос излучения в исследуемой системе, необходимо знать распределение электромагнитной энергии по частотам и направлениям для любой точки объема и любого момента времени. С этой целью вводится детальная характеристика— спектральная интенсивность излучения /», зависящая в общем случае от координат рассматриваемой точки М, времени t, направления s и частоты v.

— соответственно спектральные коэффициенты собственного, спонтанного и индуцированного излучения, зависящие в общем случае от координат рассматриваемой точки объема М, времени т, направления s и частоты v.

Исходной (первичной) величиной, характеризующей поле излучения, является спектральная интенсивность излучения /v(s), физический смысл 'и определение которой приведены выше. Эта величина является функцией координат рассматриваемой точки М, времени т, направления s и частоты v:

— соответственно ядра уравнения (7-2), являющиеся функциями координат рассматриваемой точки объема

Производная dKo/dt определяет скорость точки К, конца вектора Ко относительно неподвижной в пространстве (латинской) системы координат. Рассмотрим теперь движение этой точки /( как сложное движение. Производная dKo/dt определяет абсолютную скорость точки /(. Переносной является скорость той точки тела, с которой совпадает в данный момент точка /С, а эта скорость равна ш х гк =а> х Ко, так как радиус-вектор гк, проведенный из неподвижной точки к точке К, равен как раз вектору Ко • Относительной скоростью точки К служит скорость ее по отношению к греческой системе координат, связанной с телом. Обозначим скорость конца вектора Ко по отношению к этой греческой системе (dKo/dt)'. Тогда в силу формулы (61) и обычных представлений о сложном движении имеем

Закон сохранения импульса для циклических координат. Рассмотрим теперь систему с циклической координатой ql и покажем, что импульс, соответствующий циклической координате, не меняется. Для этого используем «сдвиг по циклической координате»:

Закон сохранения количества движения для замкнутых систем. Рассмотрим теперь замкнутую систему, движущуюся в потенциальном поле. В качестве обобщенных координат примем декартовы координаты точек и применим «сдвиг вдоль одной из осей координат», например вдоль оси х:

Частные случаи уравнений равновесия стержня в связанной системе координат. Рассмотрим нелинейные задачи изгиба первоначально искривленного стержня достоянного сечения следящими силой и моментом, приложенными к торцу (рис. 1.17). Сосредоточенные силы и моменты, приложенные в конечных сечениях (при 8=1), можно учитывать и через краевые условия. В этом случае они в уравнения равновесия не входят и системы уравнений (1.64), (1.71) принимают следующий вид:

Уравнения равновесия в связанной системе координат. Рассмотрим частный случай уравнений равновесия пространственно-криволинейного стержня, когда компоненты век-

Уравнения равновесия первого приближения в связанной системе координат. Рассмотрим уравнение (1.94), в котором положим Q=Q(0)+Q(D; х=Хо-_дх(0)+дх(1); р=Р0+ДР(о>+ЛР(1\

5. Системы со многими степенями свободы. Для того чтобы понять, какие качественные изменения вносит в движение упругой системы увеличение числа свободных координат, рассмотрим систему, изображенную на рис. 8.22, а. Две равные массы mt и /п2 (ml = m,2 — т) скользят без трения по направляющей. Они связаны со стойкой и между собой пружинами, т. е. упругими связями. Жесткости крайних пружин одинаковы и равны k (&! = &2 = К), жесткость средней обозначим через Й12. Координата центра массы т± есть /t + Ы], а массы т2 — соответственно /2 + иг, где /, и /2 — постоянные величины, «х — растяжение нижней пружины, а ы2 — сумма растяжений нижней и средней пружин.

начала координат. Рассмотрим равно-весне первой части балки (рис. 1.34 б,), ~ учитывая, что реакции опор RA — ч ----- Z kj j?

3. Равновесие нити, связанной с вращающейся системой координат. Рассмотрим невесомую нить, которая закреплена в точках А и В (рис. 3.12) плоскости хгОхг, которая вращается относительно точки О с угловой скоростью оз.

Рассмотрим преобразование прямоугольной системы координат (*/) в ортогональную криволинейную систему координат

Рассмотрим установившееся в среднем (квазистационарное) движение газа через турбомашину. Чтобы получить переход к задаче установившегося осесимметричного движения, применим к основным уравнениям операцию осреднения всех функций / по времени t и по одной из координат ^з- выбрав затем способ осреднения и систему координат <7j, q2, q3 так, чтобы максимально упростить получающиеся уравнения. Каждую из входящих в уравнение функций / будем рассматривать при этом как сумму средней / и пульсационной /' величин:.