Координат связанной

Кориолисово ускорение. Выражение для кориолисова ускорения. Силы инерции во вращающейся системе координат. Равновесие маятника на вращающемся диске. Движение тела вдоль вращающегося стержня. Неинерциальная система координат, связанная с поверхностью земли. Маятник Фуко. Законы сохранения в неинерциальных системах Задачи

Неинерциальная система координат, связанная с поверхностью Земли. Поскольку Земля вращается, система координат, связанная с ее поверхностью, является неинерциальной вращающейся системой координат.

Система координат, связанная с поверхностью Земли

Система координат, связанная с центром вращения частицы, является неинерциальной, и в ней возникает центробежная сила инерции рц б

— система координат, связанная с винтовой линией тока;

Рис. 45. Система координат, связанная с материалом:

Допустим, имеются два конуса, которые назовем делительными, касающиеся в одной общей точке Р (рис. 1). Оси шестерни и колеса перекрещиваются под углом 90° + е. Выберем следующие системы координат: S (х, у, z)—неподвижная система; 8г (хг, уг, z^) — система координат, свя'апная с колесом; <$2 (%2, У2, z2) — система координат, связанная с шестерней.

Для каждой двухповодковой кинематической группы выбирается одна подвижная система координат, связанная с одним из звеньев этой группы. Таким образом, общее количество подвижных систем координат равно количеству присоединенных двухповодковых кинематических групп. Тригонометрические функции преобразования координат из одной системы в другую выражаются алгебраически через параметры двух точек, определенных в неподвижном и подвижном пространстве.

Увод оси гироскопа под действием вибрации. Как показано А. Ю. Ишлинскнм, вибрация основания гироскопа может при наличии упругой податливости элементов подвеса и некоторых других неидеальностей привести к весьма нежелательному отклонению его оси от фиксируемого направления [17]. Воспроизведем выкладки А. Ю. Ишлинского как пример возможности весьма простого подхода к вычислению вибрационного момента. Пусть хуг — прямоугольная система координат, связанная с внешним кольцом / подвеса гироскопа (см. рис. а в п. 6 таблицы), причем ось г направлена по оси кольца, ось х — по оси поворота кожуха 2; вибрация основания такова, что при абсолютной жесткости подвеса его геометрический центр совершает прямолинейные гармонические колебания с частотой ш. Тогда возникает сила инерции в переносном движении, проекции которой на оси координат Рх = maco2 cos a>t, РУ = тбсо2 cos ml, Pz = теш2 cos int, где т — масса ротора гироскопа; а, Ъ и с — амплитуды составляющих вибрации по осям координат. Вследствие упругой податливости конструкции сила Рг вызывает колебания центра тяжести ротора вдоль геометрической оси кожуха у по закону

о — система координат, связанная с диском; б — система координат, связанная с лопастью.

Следовательно, построение сопряженного профиля по методу Рело основано на использовании понятия о линии зацепления — геометрическом месте контактных- точек в неподвижной системе координат, связанной со стойкой.

тельно мгновенной оси с некоторой мгновенной угловой скоростью, и поэтому существует вектор угловой скорости со. Предположим теперь, что в некоторое мгновение орт угловой скорости имеет направляющие косинусы, равные ос, р и v. так что проекции вектора угловой скорости на оси , г\, ? системы координат, связанной с телом, соответственно равны

Проекции р, q, r вектора угловой скорости на оси связанной с телом системы будут иметь большое значение во всем дальнейшем изложении. Именно, они будут играть роль вспомогательных координат, при помощи которых мы запишем далее уравнения движения тела с неподвижной точкой. Поэтому существенно выразить основные функции, характеризующие движение,—скалярную функцию (кинетическую энергию) и векторную функцию (кинетический момент) — через эти переменные р, q и г. 1. Кинетическая энергия. Если известен момент инерции /и тела относительно мгновенной оси о, то кинетическая энергия тела, разумеется, равна

Производная dKo/dt определяет скорость точки К, конца вектора Ко относительно неподвижной в пространстве (латинской) системы координат. Рассмотрим теперь движение этой точки /( как сложное движение. Производная dKo/dt определяет абсолютную скорость точки /(. Переносной является скорость той точки тела, с которой совпадает в данный момент точка /С, а эта скорость равна ш х гк =а> х Ко, так как радиус-вектор гк, проведенный из неподвижной точки к точке К, равен как раз вектору Ко • Относительной скоростью точки К служит скорость ее по отношению к греческой системе координат, связанной с телом. Обозначим скорость конца вектора Ко по отношению к этой греческой системе (dKo/dt)'. Тогда в силу формулы (61) и обычных представлений о сложном движении имеем

Ось Z( (рис. 18.8, а) должна совпадать с осью кинематической пары, связывающей звенья i и i -f- 1; ось xt должна пересекать ось zi—i под углом 90°;- оси у( обеспечивают правую ориентацию всех систем координат; ось гп системы координат, связанной с захватом (рис. 18.8, б), расположена вдоль губок захвата, а ось уп — перпендикулярно губкам захвата. Направление оси х0 системы координат, связанной со стойкой (рис. 18.8, в), выбирается произвольно.

Схема опыта Майкельсона—Морли в системе координат, связанной с эфиром На рисунке изображены последовательные положения интерферометра относительно эфира

Для скоростей порядка десятков километров в секунду у2/с2» 10~8, и, следовательно, относительная величина сокращения, меньше 10~~8, поэтому его трудно заметить. Например, при таких скоростях 1 м сократится лишь на величину 10~6 см. Диаметр Земного шара несколько больше 12 тыс. км. Скорость движения Земли вокруг Солнца v=30 км/с обусловливает сокращение диаметра Земли в системе координат, связанной с Солнцем, всего примерно на б см. С другой стороны, при больших скоростях это сокращение значительно. Например, при скорости тела, равной примерно 0,85 с, его длина .сократится в 2 раза. При скоростях, близких к скорости света, его длина становится весьма малой.

Теперь проанализируем эти явления в системе координат, связанной с движущейся линейкой (случай L>2o). В той системе координат источники света и фотопластинка движутся в отрицательном направлении со скоростью — v. В силу сокращения расстояние Л С между источниками будет равно- 2а j/1 — и2/с2, т. е. они будут находиться на значительно меньшем расстоянии, чем длина L покоящейся линейки. Тем не менее импульсы света от источников А и С смогут миновать линейку и дать пятна на фотопластинке. Это обусловлено относительностью одновременности. Вспышки источников, одновременные в системе координат, в которой они покоятся, будут неодновременными в системе координат, в которой они движутся. Поэтому в системе координат, связанной с линейкой, вспышки от источников Л, В и С происходят неодновременно. В частности, в той ситуации, которая рассматривается, вспышка от источника С происходит раньше на время Д^ = = (2av/c2)/ /I —v2/c2. За это время

импульс света от А также минует линейку L и даст пятно на фотографии. Таким образом, для объяснения рассматриваемого явления в системе координат, связанной с движущейся линейкой, необходимо принять во внимание не только сокращение движущихся масштабов, но и относительность одновременности.

Преобразования Лоренца справедливы лишь в инерциальных системах отсчета. Полому анализ хода часов при облете Земли в западном и восточном направлениях нельзя произвести в системе координат, связанной с поверхностью Земли. Ускорение не влияет на темп хода часов.

Почему эксперимент по замедлению времени при облете атомных часов вокруг Земли нельзя анализировать в системе координат, связанной с ее поверхностью? Какие факторы замедления времени необходимо учитывать в эксперименте по облету атомных часов вокруг Земли? В чем состоит парадокс близнецов и каково разрешение этого парадокса? Откуда следует инвариантность дифференциала собственного времени?