Корреляционные соотношения

Условные дисперсии и корреляционные отношения. Выше с помощью формул (2.27) и (2.28) были определены понятия линий регрессии, которые показывают, как в среднем зависит один акустический сигнал от другого. Важно также уметь оценивать, насколько эта зависимость близка к функциональной, т. е. определять, как говорят, «тесноту» связи сигналов. В случае прямолинейной регрессии мерой тесноты связи может служить угол между прямыми регрессии. В частности, при слиянии линий (2.34) связь становится функциональной. В общем случае теснота статистической связи между сигналами оценивается с помощью условных дисперсий, представляющих собой дисперсии условных распределений

Корреляционные отношения и условные дисперсии, как и другие характеристики двумерных функций распределения акустических сигналов, рассмотренные выше, являются функциями внутреаннх параметров машин и могут использоваться для диагностики состояния машины i[109].

При наличии препятствий, отражений и вообще в неоднородных средах сигналы приходят в точку наблюдения многократно отраженными и искаженными по сравнению со своим первоначальным видом. Из-за чрезвычайной сложности машинных и присоединенных конструкций с точки зрения их акустического расчета обычно не удается теоретически определить необходимые времена запаздывания, а иногда это сделать нельзя принципиально. Поэтому для полного анализа акустических сигналов машин необходимо изучение его характеристик в широком диапазоне изменений задержек времени. Все характеристики, относящиеся к двум или нескольким реальным сигналам машин и механизмов (совместные распределения, линии регрессии, коэффициенты корреляции, дисперсии, корреляционные отношения), существенным образом зависят от задержек времени.

На рис. 2.19 представлены графики зависимостей корреляционных отношений Tii2 (кривая 2), iifi (кривая 3) и коэффициента корреляции .Ri2 (кривая 1) от задержки времени т для узко-полосных случайных сигналов на входе и выходе нелинейной си- 1,0 стемы с насыщением (типа вольт-амперной характеристики электронной лампы). Для сигналов с а) 0,5 малыми амплитудами система линейна. Чем больше амплитуда входного сигнала, тем больше нелинейные искажения на выходе. В радиотехнике степень нелинейности принято оценивать с помощью так называемого клир- & фактора Kf, коэффициента, представляющего собой отношение мощности паразитных гармоник к мощности первой гармоники при возбуждении системы гармоническим сигналом (первой гармоникой). Очевидно, что понятие клир-фактора применимо и для механических колебательных систем. Из рис, 2.19, а видно, что, когда клирфактор равен нулю, т. е. система линейна, корреляционные отношения и коэффициент корреляции совпадают при всех значениях задержек времени. Коэффициенты нелинейности (2.49) равны нулю. При увеличении клирфактора (рис. 2.19, б, в) расхождение между этими кривыми увеличивается.

Ввиду того, что коэффициент корреляции и корреляционные отношения изменяются с задержкой времени не пропорционально друг другу, коэффициенты нелинейности (2.49) также оказы-

Отметим, что для нормально распределенных процессов линии регрессии всегда прямолинейны и взаимно сопряженные корреляционные отношения равны друг другу и коэффициенту взаимной корреляции.

При нелинейной корреляции (криволинейной регрессии) применяются еще другие характеристики зависимости между двумя случайными величинами X и Y, например корреляционные отношения X к У и Y к X, средняя квадратическая связанность и др.

При нелинейной корреляционной зависимости (криволинейной регрессии) корреляционные отношения т) \Х/у\ и r \Y/x\ больше модуля, подсчитанного для того же случая коэффициента корреляции R \Х, Y] (прежнего физического смысла последний в этом случае не имеет).

Если величины X и Y взаимно -независимы, то оба корреляционные отношения равны нулю.

Если величины X и Y связаны функциональной зависимостью (как линейной, так и нелинейной), то оба корреляционные отношения равны единице.

Корреляционные отношения характеризуют только степень тесноты связи между величинами X и Y (сосредоточения «массы вероятности» в области рассеивания на плоскости около кривых регрессии) и вовсе не характеризуют вид этой зависимости (смещение области рассеивания). Поэтому в общем случае криволинейной регрессии они должны дополняться другими характеристиками, например в виде указания обеих кривых регрессии. В случае, когда не имеет места и постоянство (или практическая близость к постоянству) условных дисперсий D \Х/у\ и D \Y/x\ при всех значениях хну, они должны дополняться еще и значениями условных дисперсий по формулам (5.24) и (5.27).

Таблица 9.2 Корреляционные соотношения уравнений регрессий

Корреляционные соотношения между параметрами кривой твердости и кривой скорости устанавливались на массиве из 173 образцов, вырезанных из различных участков закаленных слоев валков, с последующими измерением в них твердости, скорости, плотности и статистической обработкой. В табл. 9.2 приведены основные характеристики исследуемого массива образцов. Учитывая, что экспериментальные валки изготовлены из стали разных марок, можно считать, что приведенные данные являются обобщающими.

Корреляционные соотношения (рис. 4, б), полученные при применении коэрцитиметра в промышленных условиях [34], свидетельствуют о возможности контроля механических свойств труб из стали 12Х2МФСР магнитным методом, при этом погрешность в определении механических свойств составляет 10—12%.

Интенсивность теплообмена при пузырьковом кипении недогретой до температуры насыщения жидкости в условиях вынужденной конвекции определяется в основном локальными течениями, вызванными пузырьками, движением основной массы жидкости и переносом тепла паровой фазой при испарении у поверхности нагрева и конденсации в жидкости. Корреляционные соотношения обычно учитывают в той или другой форме эти процессы. Однако соотношения, полученные суперпозицией данных по теплообмену при вынужденной конвекции в отсутствие кипения и данных по кипению в большом объеме, по-видимому, не могут быть достаточно универсальными, так как они не учитывают третью составляющую процесса, а механизмы развитого кипения в объеме и кипения движущейся недогретой жидкости существенно различаются [5.15].

В настоящее время почти не имеется достаточно надежных экспериментальных данных о параметрах трещиностойкости материалов, особенно с соответствующими статистическими оценками рассеяния значений этих параметров. В этих условиях полезными являются эмпирические корреляционные соотношения между характеристиками трещиностойкости и другими механическими характеристиками материалов: пределом текучести, ударной вязкостью, относительными удлинениями и сужениями и т. п. Особенно тесная корреляция обнаруживается между вязкостью разрушения и ударной вязкостью: чем больше ударная вязкость, тем больше и вязкость разрушения Xic- Схематично эта зависимость показана на рис, 7.2. Теоретически обосновать эту зависимость затруднительно. Это связано с тем, что величина /С1с характеризует локальную прочность материала в зоне трещины, тогда как ударная вязкость характеризует прочность образца материала в целом как конструкции. Кроме того, ударная вязкость относится к

соких непрерывных термомеханических нагрузках и периодически колеблющихся и меняющих направление высоких массовых расходах. Подобные условия течения не рассматриваются в имеющейся литературе по теплообмену, но общие корреляционные соотношения, связывающие фундаментальные безразмерные критерии теплообмена: числа Нуссельта, Прандтля, Рейнольдса, Стантона и т. п., — могут быть применены, если имеются соответствующие экспериментальные данные. К сожалению, чтобы получить эти данные, необходимо провести измерения при таких же условиях течения, какие существуют в двигателе Стирлинга, и есть только один путь, позволяющий смоделировать подобные условия, — построить двигатель Стирлинга. Однако, чтобы сконструировать теплообменники для этого двигателя, необходимо иметь экспериментальные данные, которые мы хотим получить., Выход из этой классической проблемы «яйца и курицы» состоит в том, чтобы проектировать теплообменники на основании данных для установившегося течения. Обычно в дальнейшем совершенствуют работу двигателя методом проб и ошибок, применяя различные модификации. Это не слишком удивляет, поскольку в прошлом основная цель исследовательских программ состояла в том, чтобы построить двигатель, который бы работал. Теперь при быстро развивающейся технологии и большом количестве экспериментальных данных большее внимание уделяется основам теплообмена в уникальных условиях двигателя Стирлинга. Нельзя сказать, что исследований теплообмена в этих условиях не проводится, поскольку несколько работ опубликовано, но большинство из них посвящено только регенератору и к тому же применительно к холодильникам, а не к энергетическим установкам. Тем не менее получен ряд экспериментальных данных и проведено несколько теоретических исследований, но все же эта область знаний остается очень слабо изученной. Общие выводы исследований, опубликованных к настоящему времени, не являются окончательными; например, в работе Льюисского исследовательского центра НАСА [19] измеренное падение давления в регенераторе оказалось вдвое выше расчетного значения, а исследовательская группа Токийского университета [20] получила коэффициенты теплоотдачи почти вдвое ниже, чем для случая установившегося течения, в то время как в других исследованиях результаты прямо противоположные [21]. Хотя немногочисленные и противоречивые данные, полученные к настоящему времени, не позволяют дать вполне определенное аналитическое описание теплообмена в двигателе Стирлинга, тем не менее мы приведем некоторые соображения об основных теоретических требованиях к теплообменным устройствам двигателя Стирлинга и о том, как эти требования осуществляются на практике.

Обычно применяют корреляционные соотношения общего вида

Универсальной формы соотношения (2.37) не существует,. хотя некоторые корреляционные соотношения позволяют получить более точные результаты по сравнению с другими. Табличные и графические данные, представленные Кэйсом и Лондоном, видимо, обеспечивают наилучшую корреляцию результатов, хотя при этом число Нуссельта заменяется более удобным числом Стантона St:

Для наружной поверхности проблема несколько облегчается, поскольку течение является установившимся, особенно в том случае, когда источником энергии служат газообразные продукты сгорания. Стандартные корреляционные соотношения можно использовать с большей степенью надежности, или по крайней мере можно надеяться на это. Однако данные экспериментальных исследований, проведенных фирмами «Филипс» и «Юнайтед Стирлинг», показали, что в некоторых случаях измеренные значения коэффициентов теплоотдачи могут превышать расчетные величины, полученные с помощью имеющихся корреляционных соотношений [25].

В большинстве указанных работ при анализе газодинамических систем не рассматривается движение поршня, но в монографиях [41, 45] помимо других факторов учитывается движение поршня, так что на эти работы следует обратить особое внимание. При использовании столь строгого математического подхода еще требуется: найти корреляционные соотношения для теплообмена и аэродинамического сопротивления, получить аналитические выражения для различных граничных условий, описать математически реальное движение поршня и т. д. К полученным решениям нужно относиться таким же образом и с той же осторожностью, как и к решениям, найденным методами раздельного анализа. Однако можно полностью рассчитать значения давления и температуры во всех точках в течение всего рабочего цикла, что позволяет более глубоко постичь механизмы, участвующие в рабочем процессе. Деление системы на множество небольших «газовых молей» можно считать предельным случаем аналогичного деления, применяемого в методике Шмидта [45]. Метод узлов с достаточным основанием можно считать обобщением этой методики.

Строго говоря, даже молекулярный вес соединения не аддитивен весу входящих в него атомов. Корреляционные соотношения связывают макросвойства тела с микроструктурой молекул, как правило, независимо от структуры макротела, что также надо постоянно иметь в виду. Все это ни в коей мере не умаляет ценности описываемого метода исследования классической проблемы органической химии: строение—свойство. Напротив, опыт свидетельствует об огромных возможностях применения корреляционных соотношений как в органической, так и биологической химии, фармакологии, химиотерапии и в других областях химических знаний.