Кососимметричных составляющих

Для случая кососимметричных колебаний примем, что диск посажен наклонно, т. е. что его плоскость образует некоторый угол т с плоскостью, перпендикулярной к оси вала, причем соот-

С помощью соотношений (3. 48) можно исключить хд и у0 из уравнений (3. 47), после чего получаются следующие дифференциальные уравнения кососимметричных колебаний:

Для кососимметричных колебаний (вторая форма) имеем

Формула (2) точнее, чем формула (1), так как в ней учитывается распределенная масса вала. Однако частотное уравнение (3) было выведено для точечной массы М и не дает возможности учитывать размеры этой массы (размеры диска), а уравнение (4) является частотным уравнением^ для кососимметричных колебаний вала постоянного сечения и вообще не учитывает влияния сосредоточенной массы на частоту этих колебаний. Очевидно, что пренебрежение размерами массы может привести к ошибкам при расчете собственных частот с помощью уравнений (3) и (4).

для кососимметричных колебаний ротора ступенчатого сечения [2]. Схема ротора с геометрическими и массовыми параметрами его элементов изображена на рис. 1.

Вследствие того, что формула (4) не учитывает влияния массы диска, коэффициент а2 для расчета второй собственной частоты (кососимметричных колебаний), вычисленный по этой формуле, получается одинаковым для диска любых размеров и равен а2 ж 3,14 (см. рис. 2, кривая 1). Коэффициент «2, вычисленный по уравнению (7), отражает зависимость собственной частоты кососимметричных колебаний от размеров диска.

При малой толщине диска (ех >• 0,9) влияние последнего на частоту кососимметричных колебаний практически не проявляется до величины отношения диаметров б s^ 0,7. При увеличении разницы диаметров (при уменьшении б) влияние диска на частоту сказывается все больше. При этом значение второй собственной частоты уменьшается по сравнению с величиной частоты кососимметричных колебаний вала постоянного сечения, вычисляемой по формуле (4). Так, при б = 0,04 вторая собственная частота получается вдвое меньше рассчитанной по уравнению (7).

В симметричной системе рассматриваются главные формы свободных колебаний двух видов: симметричные и кососиммет-ричные. Их следует изучать раздельно, используя симметрию системы. Заданная система разделяется плоскостью симметрии на две половины. В местах сечений накладываются дополнительные связи или дополнительные условия, соответствующие перемещениям в плоскости симметрии для симметричных колебаний и из плоскости симметрии для кососимметричных колебаний.

Динамическая модель системы, разбитая на две половины, для изучения кососимметричных форм колебаний представлена на рис. 1, в. Здесь введена подвижная опора, обеспечивающая возможное горизонтальное перемещение по оси у и поворотные перемещения 0Х и Э2 из плоскости симметрии. Соответствующая динамическая матрица кососимметричных колебаний имеет вид

При использовании метода конечных элементов для расчета балочных пространственных моделей конструкций не требуются принципиально новые приемы для анализа симметричных систем. Модель представляется в виде конечного числа призматических стержневых элементов, скрепляемых между собой в узловых точках. Если плоскость симметрии конструкции проходит через узловые точки, то система разбивается пополам на две подсистемы для раздельного изучения симметричных и кососимметричных колебаний. В плоскости сечения на узлы системы накладываются дополнительные связи или дополнительные условия, как для дискретной динамической модели.

В случае, если плоскость симметрии не проходит через узловые точки, необходимо вводить в систему дополнительные узловые точки, расположенные в плоскости симметрии, и для них обеспечить условия раздельного изучения симметричных и кососимметричных колебаний. Матрица жесткости для элементов этой системы при использовании метода конечных элементов имеет такой же вид, как и в случае дискретной модели [2].

Общие технические вопросы подготовки роторов, пробных и уравновешивающих грузов, измерительной аппаратуры и документации к проведению уравновешивания изложены в различных инструкциях и литературе по уравновешиванию ([14], [16], [25] и т. п.). Методика проведения измерений амплитуд и фаз вибраций, построения векторных диаграмм для определения симметричных и кососимметричных составляющих векторов вибраций, определение «бьющей точки» также описаны в литературе и в инструкциях по эксплуатации измерительных приборов и по уравновешиванию ([2], [14], [16], [25], [27] и др.). Поэтому, изложим только вопросы, касающиеся самого порядка проведения уравновешивания.

Возможен и промежуточный случай, когда уравновешивание роторов проводится путем последовательного устранения как симметричных, так и кососимметричных составляющих реакций.

/ — плоскость симметричных составляющих; // — плоскость кососимметричных составляющих; а — угол между плоскостями

где знак плюс берется при определении симметричных составляющих дисбаланса, а знак минус — при определении кососимметричных составляющих.

В этой связи следует отметить, что случай существования «нечувствительных» скоростей [2], при которых на ротор могут действовать большие изгибающие моменты при нулевой динамической реакции на опоре, практически невозможен, так как в качестве первого этапа осуществляется на малых оборотах интегральное уравновешивание с целью компенсации всех симметричных и кососимметричных составляющих неуравновешенности. Только после этого проводится уравновешивание с учетом гибкости ротора.

Направление осевых плоскостей действия симметричных и кососимметричных составляющих динамических реакций определяется таким образом. Плоскость действия Rc согласно рис. 3 совпадает с плоскостью действия суммарной реакции R%. Это облегчает решение задачи, так как определение осевой плоскости действия Rz не составляет особых трудностей. Положение осевой плоскости действия RK определяется по следующей зависимости:

справедливые как для симметричных, так и для кососимметричных составляющих. В матричной форме аппроксимации по а запишем следующим образом:

Амплитудные значения симметричных и кососимметричных составляющих гармоник разложения углов поворота нормали {&„} и {&„} могут быть выражены через обобщенные узловые перемещения:

В результате специального выбора знаков в разложениях v [см. (4.61)] и е12, и12 [см. (4.73А)] полученное выражение справедливо как для симметричных, так и для кососимметричных составляющих. Окончательно с учетом (4.67) распределение деформаций и изменений кривизн представим в виде

подразумевая при этом, что полученная запись справедлива как для симметричных, так и для кососимметричных составляющих п-й гармоники разложения.

дифференцирование по времени. Для внешних нагрузок будем считать, что в любой момент времени т известны функции Фурье для симметричных и кососимметричных составляющих. Воспользуемся, как и прежде, представлением решений {[/} в виде (4.70), однако при этом будем считать, что обобщенные перемещения зависят от времени: