Касательные плоскости

Если задано условие (1), то все граничные условия и условия непрерывности удовлетворяются, за единственным исключением, состоящим в том, что касательные перемещения внутренних сторон граничных элементов не совпадают в точности с соответствующими перемещениями сторон смежных внутренних элементов1). Эти смежные стороны лежат тем не менее в одной плоскости, и все углы соответствующих элементов совпадают. Поскольку условия непрерывности нарушаются только в весьма локализованных областях, мы предполагаем, что эта модель отличается от истинного решения, удовлетворяющего условию (1), лишь в тонком пограничном слое. Таким образом, отсюда следует, что для тел больших размеров эффективные модули, определяемые при условиях (1) и (7), (8), эквивалентны друг другу, а также модулю, определенному условием (2). Более того, поля напряжений и деформаций, определенные формулами (7) и (8), совпадают с полями, постулируемыми вдали от границ при задании либо условия (1), либо условия (2).

Одним из аспектов микромеханики, не получивших достаточно полного освещения в литературе, является ее применение к вычислению поверхностных деформаций. Как отмечалось выше, распределение поверхностных деформаций, вообще говоря, не определяется граничными условиями. Исключение составляет случай, когда заданы касательные перемещения на поверхности, как в условии (1). Для задачи об одном ряде, рассмотренной выше, Рыбицки [15] приводит распределение величины 6n(xi, a) — En(xi, —а), представленное на рис. 4. Поскольку в этом случае применима формула (14), среднее значение этой функции на длине а равно е°,, однако деформации распределены далеко не равномерно.

Рассмотрим деформацию кольца в своей плоскости. На рис. 6.2, в изображен элемент АВ, переходящий в результате изгиба кольца в положение Л^ц. Радиальные и касательные перемещения точек оси кольца обозначим через ш и v, а угол поворота касательной к оси кольца — через •&. До деформации кривизна

В качестве дополнительных бифуркационных перемещений берем нормальные и касательные перемещения точек координатной окружности {и*} = {w, v}.

Дальнейшее уточнение деформаций поперечного сдвига и сжатия слоя заполнителя возможно при большем числе членов разложения касательных и нормальных перемещений. На рис. 5.5 представлена форма трехслойного элемента до и после деформирования. Касательные перемещения распределяются в этом случае по кубической параболе аргумента г, а нормальный прогиб — по квадратичной параболе:

В тех случаях, когда можно пренебречь поперечным сжатием заполнителя, но необходимо учесть податливость заполнителя на поперечный сдвиг, расчет трехслойных оболочек выполняют с использованием гипотезы ломаной линии [19]. Согласно этой гипотезе нормальные перемещения всех слоев принимаются одинаковыми. Касательные перемещения в пределах каждого слоя распределяются линейно по координате г и формируют в общем случае ломаный профиль сечения, как это показано на рис. 5.3.

Теперь рассмотрим изменение геометрии кольца, связанное с его Изгибом (рис. 4.2). ^атериальное волокно АВ, совпадающее с элементом оси кольца, в результате изгиба кольца займет положение A]J3i. Радиальные и касательные перемещения точки Л"этого волокна обозначим соответственно через w и v, а угол поворота касательной в 'этой точке— через -ф. Введем подвижную ортогональную систему координат, Направив ось у по касательной к оси кольца в точке А, а ось

Когда закрепление кольца полностью исключает его перемещение как жесткого целого,, могут быть найдены все произвольные постоянные Ct и однозначно определены все функции v = v (ф), w *= w (ф) и Ф = Ф (ф). Если же кольцо не закреплено относительно перемещения в своей плоскости, то значения величин у, w и Ф можно определить только с точностью до произвольного смещения кольца как жесткого целого. Обычно наибольший практический интерес представляют перемещения v, w и угол чЗ- поворота нормали, непосредственно вызван-ные изгибом кольца, а не перемещением его как жесткого целогр. Выделить такие функции v, w и & можно, потребовав, чтобы функция (4.40) была ортогональна функции (4.36), описывающей касательные перемещения кольца при произвольном его смещении как жесткого целого, т. е. потребовав, чтобы при произвольных а0, alt аа выполнялось условие

В соответствии с уравнением (12.59) касательные перемещения оси замкнутого торцового шпангоута под действием такой нагрузки равны

В качестве дополнительных бифуркационных перемещений берем нормальные и касательные перемещения точек координатной окружности {и*} = {w, v}.

Дальнейшее уточнение деформаций поперечного сдвига и сжатия слоя заполнителя возможно при большем числе членов разложения касательных и нормальных перемещений. На рис. 5.5 представлена форма трехслойного элемента до и после деформирования. Касательные перемещения распределяются в этом случае по кубической параболе аргумента г, а нормальный прогиб — по квадратичной параболе:

Поверхности скольжения в состоянии предельного равновесия образуются так, что площадки скольжения для них — касательные плоскости. При определении положения площадок скольжения и установления условия предельного равновесия среды используется зависимость

Условия (2.4.48) получены для площадок, положение которых определяется значениями компонент % = ± Т/"(1/2) (1 — sin op),n2 = О, па = ± 1^(1/2) (1 + sin ф), поэтому можно утверждать, что в каждой точке среды имеют место поверхности скольжения, касательные плоскости к которым проходят через направления главного напряжения а2 и составляют с направлением главного напряжения сгг угол

В частном случае, когда Уе равно нулю, скорость Vr равна скорости Уа и обе касательные плоскости, определяемые — одна образующей МО и скоростью Уа, а другая — образующей МО и скоростью Уг, по-прежнему совпадают.

Поверхность, мысленно проведенная в напряженном теле, во всех своих точках касающаяся главных площадок с одноименными главными напряжениями (аь или а,2, или сг3), называется изостатической. Через каждую точку напряженного тела проходят три ортогональные (в силу ортогональности главных напряжений) изостатические поверхности. Тремя системами изостатических поверхностей все тело разбивается на бесконечно малые криволинейные шестигранники, касательные плоскости к граням которых совпадают с главными площадками. При изменении нагрузки изостатические поверхности изменяются. В случае, когда напряжения зависят лишь от двух координат точек тела, например от х и у, и не зависят от г, одна из систем изостатических поверхностей превращается в плоскости, перпендикулярные оси г, а две другие представляют собой цилиндрические поверхности, ортогональные указанным плоскостям и ортогональные между собой. Следы, оставляемые этими поверхностями на плоскостях, перпендикулярных г, называются изостатами или иначе траекториями главных напряжений.

Касательные плоскости

Если провести касательные плоскости в точках М; правильной поверхности и спроектировать частичные поверхности s,- на соответствующие касательные плоскости, то каждой $1 будет соответствовать площадь о; плоской области, полученной при таком проектировании области Sj.

Всякое решение его- определяет в пространстве поверхность z (x,y). Угловые коэфи-циенты касательной плоскости в точке (x,y,z) суть ряд; так как они связаны одним соотношением, через каждую точку пространства проходит бесконечное множество интегральных поверхностей уравнения F = 0. Касательные плоскости к ним образуют семейство плоскостей, зависящее от одного параметра и, следовательно, огибающих некоторый

Два элемента касаются друг друга, если касательные плоскости (касательные прямые), проведенные в их общей точке, совпадают (с учетом их ориентации). Например, на рис. 43 дуга окружности 13 касается прямой 12 и окружности 4, что записывается следующим образом:

оно выражает семейство поверхностей. Кривая пересечения Двух предельно близких поверхностей семейства Рг (xlt yt, zt, fq) = О и F2 (л:2, г/2, z2, /c2) = 0 называется характеристикой. Огибающая касается каждой кривой семейства поверхностей вдоль характеристик. Она будет совпадать с касательными семействами по линиям характеристик. Следовательно, огибающая имеет вид линейчатой поверхности. Касательные плоскости к поверхностям колес 1 и 2

Совокупность плоскостей, касающихся пространственной кривой (каждая в двух точках), .представляет собой два однопара-метрических семейства плоскостей. Огибающая каждого из этих однопараметрических семейств плоскостей является, как известно, торсовой поверхностью. Соединяя точки касания плоскостей, в каждом отдельном случае будем иметь две образующие торсов, которые определяют две касательные плоскости к заданной кривой.

Плоскость у =Ь, пересекая касательные плоскости то и т& и образующие а0 и ай, даст две касательные прямые ?оз и ?ь3 к параболе / и две принадлежащие ей точки Lh(xk, b, ?й) и MO(XO, Ь, Zo). Эти данные позволяют определить вторую направляющую параболу / аналогично тому, как это было выполнено для параболы k. Запишем уравнение кривой / в параметрическом виде