Комплексные потенциалы

где a = e'e, am и pm — комплексные постоянные, соответствующие приложенным по краю напряжениям.

Отклик на стационарные периодические воздействия с частотой <о (когда ох = огАег<0* и ех = eAeiu>t, где аА, ЕА — вещественные или комплексные постоянные) определяется через комплексную

на низких частотах первая нормальная волна в реальном стержне имеет действительную постоянную распространения, остальные волны имеют комплексные постоянные распространения и являются, таким образом, неоднородными (затухающими). Дисперсия первой волны (кривая 1) имеет вначале прямолинейный

Я» « ±1/21п[(4и + 1)я/а] ±i(4« + l)ji/4. (6.66) Таким образом, все нормальные волны с большими номерами имеют комплексные постоянные распространения и затухают с расстоянием.

Представляя комплексные постоянные, • входящие в формулу (3.106), в виде

где Cj и С2 — любые комплексные постоянные, осуществляет отображение внутренности круга на некоторую новую решетку профилей с периодом

Здесь C/i — произвольные комплексные постоянные, w# — числовые матрицы -столбцы. Так как по условию решение q (f) является действительной величиной, а характеристические показатели связаны соотношением \* ft = ^ (звездочка означает переход к комплексно-сопряженной величине), то должно выполняться условие

где Кп — вещественные собственные значения, которые будут определены ниже; Ап, Вп и Сп — неопределенные комплексные постоянные, а ( )° и ( )* обозначают вещественную и мнимую части комплексной постоянной ( ). Удовлетворив граничным условиям по напряжениям ауу = аху = oyz = О на поверхности трещины (0 = ±я), а также условиям по перемещениям перед вершиной трещины (0 = 0), можно найти порядок собственных значений и связь между комплексными постоянными.

Представляя комплексные постоянные, входящие в формулу (3.106), в виде

где А, В — комплексные постоянные.

где /4lt A 2, Л3 — некоторые комплексные постоянные.

через комплексные потенциалы

Несмотря на то, что напряжения и перемещения могут быть записаны непосредственно через комплексные функции, удобно ввести новые комплексные потенциалы, которые определяются как производные функций F{ (z,-), т. е.

Напряжения выражаются через новые комплексные потенциалы следующим образом:

Поскольку мы получили выражения, определяющие напряжения и перемещения через комплексные потенциалы, удобно записать в таком же виде и граничные условия. Сформулируем статические граничные условия, при которых на границе задаются напряжения. Итак, рассмотрим упругую пластину, ограниченную кривой L, вдоль которой заданы нормальные и касательные напряжения:

Комплексные потенциалы 52

но, как показано на рис. 2. Результаты, записанные через комплексные потенциалы [122], имеют вид

Во всех случаях не учитывается кинематика распространения трещины, поэтому можно исследовать распределение напряжений в кончике трещины, не заботясь более о перемещениях. Для бесконечной анизотропной пластины с трещиной длины 2о, подверженной действию растяжения а°° и сдвига т00 на бесконечности (рис. 13), комплексные потенциалы напряжений для области в окрестности кончика трещины имеют вид

на коэффициент трения л. Для участка трещины с сомкнутыми берегами сила трения t пропорциональна относительному перемещению м, вызванному антисимметричной нагрузкой т. Для фрикционных граничных условий, показанных на рис. 17, б, комплексные потенциалы Фг и Ф2 могут быть определены при помощи конформного отображения и вычисления интеграла Коши в преобразованной плоскости. После соответствующих выкладок имеем

После подстановки уравнений (46) в (37) можно получить распределение напряжений в окрестности кончика трещины и, следовательно, значение коэффициента интенсивности напряжений. Коэффициент интенсивности напряжений можно также определить непосредственно через комплексные потенциалы Фг, Ф2 [71]:

0; тг — тензоры напряжения в сокращенном обозначении; Фг — комплексные потенциалы напряжений;

Пусть известны комплексные потенциалы Wl (z) и W2(z) каких-либо двух течений через данную решетку.