Комплексных собственных

Таким образом, постановка граничных условий сводится к заданию на границе действительных частей комбинаций комплексных потенциалов. Постоянные С1 не влияют на напряжения, и, следовательно, могут быть приняты равными любой величине.

Следовательно, постановка геометрических граничных условий также сводится к заданию на границе действительных частей комбинаций комплексных потенциалов.

В заключение отметим, что постановка смешанных граничных условий, при которых на одной части границы заданы напряжения, а на другой — перемещения, также может быть сведена к заданию на границе действительных частей комбинаций комплексных потенциалов.

В качестве примера приложения метода комплексных потенциалов к решению задач теории упругости анизотропного тела рассмотрим неограниченную пластину с эллиптическим отверстием

что соответствует задаче о напряженном состоянии 'изотропной пластины с круглым отверстием, нагруженной по контуру равномерным давлением. Таким образом, в предельном случае полученное- решение приводит к правильному результату. Следует отметить, что предельный переход к изотропному материалу в равенстве (184) приводит к неопределенности, т. е. необходимо иметь в виду, что предельные переходы в решениях для анизотропных материалов следует осуществлять в выражениях для напряжений и перемещений, а не для комплексных потенциалов.

На основе полученных зависимостей распределения осевых скоростей по радиусу камеры можно построить линии тока и провести их сравнение для идеального и реального случаев. Течение в модели можно аналитически представить как наложение двух комплексных потенциалов: потенциала, представляющего сток мощностью /и, и потенциала вихревой точки.

Формулу (1.2) можно, конечно, получить и непосредственно, рассматривая наложение комплексных потенциалов однородного потока и всех вихрей и используя разложение гиперболического синуса в бесконечное произведение:

где функции /j (x, у) и f$(x, у) равны мнимой части комплексных потенциалов решеток стоков и источников интенсивностью 2я, помещенных, соответственно, в передней (индекс 1) и задней (индекс 2) критических точках:

Отметим, что применение в качестве отображающих функций комплексных потенциалов циркуляционных потоков (Г — — Г:—Г2 =? 0) дает в плоскости отображения решетки специального вида из незамкнутых профилей, которые следует рассматривать на бесконечно-листной поверхности, с различными периодами в бесконечностях перед и за решеткой. Такие отображающие функции (некоторые из которых рассмотрены в гл. 5) находят применение в задаче обтекания решеток дозвуковым потоком газа.

Совместный метод разложения комплексных потенциалов напряжени уа.З), а = 2a/W, p =

Совместный метод разложения комплексных потенциалов напряжения и граничной коллокации; точность меньше 1%.

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комллексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала.

Определение комплексных собственных значений. Рассмотренные ранее уравнения малых свободных колебаний стержней содержали слагаемые со вторыми производными по вре-

находим действительные (а1/) и мнимые (р/) части комплексных собственных значений.

и мнимые части комплексных собственных значений для неконсервативных задач, знака не меняют, что осложняет численное определение собственных значений. На рис. 4.12 показан качественный характер изменения поверхностей D(a, (5) при непрерывном изменении аир. Точки касания поверхностей плоскости (р, а) есть комплексные собственные значения Я/:

Рассмотрим более подробно основные задачи, которые возникают при проектировании стержневых элементов конструкций, взаимодействующих с потоком. Одной из основных задач является задача определения комплексных собственных значений стерж-

из которого определяются а, и р/. Собственные комплексные значения можно также определить, воспользовавшись приближенным методом, изложенным в § 4.3. Действительная и мнимая части комплексных собственных значений А,/ зависят от скорости потока VQ. Определяя А,/ в зависимости от и0, можно установить значение (критическое), при котором действительная часть одного из комплексных корней Кк будет равна нулю, и если при VO>VQ* действительная часть АК больше нуля, то колебания стержня в потоке становятся неустойчивыми.

определитель которой должен быть равен нулю, т. е. D(l, wa, РО, а, Р)=0. Значения ajt ру, при которых определитель D обращается в нуль, дают собственное комплексное число X/=a.j+ip/. Более подробно определение комплексных собственных значений изложено в § 4.1.

Действительные и мнимые части комплексных собственных значений находятся из условия D(a, 3, Ш0)=0, где D — определитель системы.

На рис. 9.4, а приведены графики изменения действительной щ и мнимой PI частей двух комплексных собственных чисел в зависимости от размерной скорости о>с при ci=10. Из графика следует, что при значении скорости потока, соответствующей точке D, действительная часть второго комплексного собственного значения меняет знак, т. е. колебания трубопровода становятся неустойчивыми. Соответствующее значение критической скорости обозначено ш*0. Второе значение критической скорости соответствует точке А (ш0**), где мнимая часть (частота) первого комплексного числа обращается в нуль. При безразмерной жесткости опоры ei=10 первая критическая скорость шс*, при которой наступает динамическая неустойчивость, меньше второй критической скорости о>о**, при которой первая частота обращается в нуль. Следует отметить, что обращение мнимой части комплексного корня в нуль не всегда связано с потерей статической устойчивости по данной форме.

Область вещественных собственных чисел совпадает с областью неограниченно возрастающих решений уравнения Хилла (область неустойчивости решения, а следовательно, и неустойчивости механической системы), а область комплексных собственных чисел — с областью ограниченных (почти-периодических) решений (область устойчивости решения, а следовательно, и устойчивости механической системы). На границах областей, ограниченно и неограниченно возрастающих решений

определяет спектр комплексных собственных частот (Qi, . ..., Qt-) затухающих колебаний одномассовой системы, заполненной вязкой жидкостью. Если отбросить диссипативные силы в упругой системе и жидкости, то собственные частоты незатухающих колебаний (Qj, . . ., И,-) можно определить из уравнения

На рис. 7.4.1, б показаны результаты расчетов критического давления при s=0,01 для титановой оболочки с такими же геометрическими параметрами, как и в [69]. Оболочка разбивалась на 11 конечных элементов и размер матриц был 40x40. При фиксированном m критическое давление вычислялось с использованием процедуры дихотомии. Затраты процессорного времени IBM-PC/AT для вычисления всех комплексных собственных значений и собственных векторов при фиксированном значении давления составляли: по ?.К-алгоритму 1,5 мин и 15 мин по методу понижения нормы матрицы. При этом во втором случае заданная точность не достигалась и выход происходил по числу итераций. Резуль-