Комплексными коэффициентами

При центрировании по D и d допускаемые и рекомендуемые сочетания полей допусков посадочных размеров, а также обозначения соединений предусмотрены ГОСТом (табл. 21 и 22). Однако приведенные сведения не распространяются на соединения с гарантированным натягом и с центрированием по D при закаленной втулке. Контроль втулки и вала производят комплексными калибрами (пробками и кольцами), учитывающими погрешности расположения элементов профиля. Для оценки различных посадок на рис. 11 даны схемы полей допусков и их расположений для соединений с d = ЗОн-50 мм.

При центрировании по D и d допускаемые и рекомендуемые сочетания полей допусков посадочных размеров, а также обозначения соединений предусмотрены ГОСТом (табл. 21 и 22). Однако приведенные сведения не распространяются на соединения с гарантированным натягом и'с центрированием по D при закаленной втулке. Контроль втулки и вала производят комплексными калибрами (пробками и кольцами), учитывающими погрешности расположения элементов профиля. Для оценки различных посадок на рис. 11 даны схемы полей допусков и их расположений для соединений с d= 30-т-50 мм.

Шероховатость поверхности не включается в отклонение формы, хотя в обоснованных случаях допускается нормировать отклонение формы, включая шероховатость поверхности; последнее может потребоваться при зависимых допусках расположения, если проверка годности осуществляется комплексными калибрами.

Контроль резьбы на проекторе и комплексными калибрами, двухпро-фильная проверка зубчатых колес

Детали, выполненные по зависимым допускам, обычно контролируются комплексными калибрами.

15. Отклонения расстояний между осями чаще всего устанавливаются непосредственно на межосевые расстояния. При зависимых допусках расположения отклонения расстояний между осями могут нормироваться заданием предельного смещения осей г от номинального расположения, при этом контроль осуществляется комплексными калибрами, обеспечивающими требования взаимозаменяемости (собираемости узла).

(угловое смещение шлицев и эксцентриситет посадочного диаметра к шлицам) предусмотрено резервирование части поля допуска элемента. В связи с этим в табдицах допусков установлены три предельных отклонения, соответствующих калибрам проходному, непроходному и комплексному. В отличие от существующих ведомственных стандартов третье предельное отклонение, проверяемое комплексными калибрами, введено и для центрирующего (посадочного) диаметра. Так, в ряде случаев эксцентриситет посадочного диаметра относительно шлицев выгоднее компенсировать за счёт увеличения зазора по диаметру, а не по шлицам *.

В табл. 95 и 95а даны предельные отклонения комплексных шлицевых калибров *. Отклонения эти отсчитываются от размеров элементов (Д d и Ь) шлицевых пробок и колец, соответствующих контуру втулки и вала, определяемому отклонениями, установленными для контроля комплексными калибрами **.

При зависимых допусках отклонения от соосности целесообразно контролировать комплексными калибрами.

При зависимых допусках симметричность целесообразно контролировать комплексными калибрами, аналогичными калибрам для контроля отклонения от соосности. Действительное отклонение от симметричности определяют с помощью универсальных средств измерения и специальных измерительных приспособлений

При зависимых допусках на межосевые расстояния контроль целесообразно производить комплексными калибрами. Для небольших деталей могут быть использованы проекторы

Решая систему (64) линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами по правилу Крамера, получаем

Как определитель Л, стоящий в знаменателе выражений (65) и не зависящий от индекса k, так и определители Д1Л, стоящие в числителе этих выражений, представляют собой полиномы от Q с комплексными коэффициентами. Поэтому отношение определителей в выражении (65) является дробно-рациональной функцией. Вид этой функции зависит от k. Заметим здесь же, что степень числителя в любом случае не превосходит степени знаменателя. Более того, легко видеть, что в невырожденных случаях степень числителя заведомо меньше степени знаменателя.

В частном случае независящего от частоты коэффициента потерь т] (со) = const вместо частотно зависимого вязкого демпфирования в некоторых отношениях удобнее непосредственно использовать комплексные жесткости (7.8) или соответствующие комплексные модули упругости, которые в данном случае не зависят от частоты. Подставляя их в волновые уравнения типа (5.7) и (5.33), можно получить легко решаемые уравнения с постоянными комплексными коэффициентами. Например, уравнение продольных колебаний стержня с частотно независимыми потерями записывается в виде

Подведем итог сказанному. Выбор расчетной модели упругой среды зависит от того, какова реальная зависимость модуля С о ((а) и коэффициента потерь ц((л) от частоты. Если она имеет вид, близкий к (7.9) — (7.12), в качестве расчетной модели удобно использовать соединения идеальных пружин и вязких демпферов, изображенные на рис. 7.2. В этом случае правомерно получать решения волновых уравнений с произвольной, в том числе и случайной, правой частью. Если реальные зависимости С о (а) и т] (и) не могут быть удовлетворительно описаны функ* циями вида (7.9) — (7.12), то применяются аналогичные модели, но с частотно зависимым вязким трением. В частности, если т]((в) = const, наиболее удобным для расчетов представляется использование комплексных моделей упругости и соответствующих волновых уравнений с комплексными коэффициентами. Следует иметь в виду, однако, что такие модели верны, вообще говоря, только для гармонического движения. Отметим также, что если среда имеет сложную зависимость ri(co), но рассматривается в узкой полосе частот, то в качестве ее расчетной модели можно использовать одну из моделей с вязким трением (см. рис. 7.2), например модель Фохта.

Логарифмический декремент. Введем понятие логарифмического декремента волн или колебаний, которое часто используется в литературе вместо коэффициента потерь. Рассмотрим для конкретности распространение продольной волны частоты и в бесконечном стержне с комплексным независящим от частоты модулем Юнга. Решая волновое уравнение с комплексными коэффициентами

Современные ЭЦВМ позволяют выполнить исследования колебаний механической системы практически любой сложности. Но изменение структуры модели требует разработки новых алгоритмов и программ расчета, поэтому в последние годы уделяется большое внимание исследованию общих закономерностей колебания сложных механических систем, не зависящих от их конкретной структуры. Наиболее полно эти вопросы освещаются в литературе по акустике, в особенности в работах Е. Скучика [1]. При этом вместо принятых в литературе по механике понятий динамической жесткости, податливости и гармонических коэффициентов влияния применяется терминология, установившаяся для описания переходных процессов в электрических цепях: импеданс, сопротивление, проводимость и т. п. Это связано с использованием получившего широкое распространение в последние годы математического аппарата теории автоматического регулирования и, в частности, с рассмотрением задач в комплексной области. Переход в комплексную область позволяет свести динамическую задачу для линейной системы при гармоническом возбуждении к квазистатической с комплексными коэффициентами, зависящими от частоты. После определения комплексных амплитуд сил Fn и перемещений vn действующие силы и перемещения выражаются действительными частями произведений Faeimt и vneiwt. Такой подход требует также обобщения понятий динамической жесткости и податливости как прямого и обратного отношений комплексной амплитуды силы к амплитуде перемещения. Наряду с податливостью могут использоваться отношения комплексных скорости или ускорения (отличающихся только коэффициентами iu)) к силе.

указывают масштаб и фазу передаваемого воздействия. Они могут быть названы комплексными коэффициентами передачи амортизирующим креплением соответственно гармонической силы и гармонической вибрации.

В 1895 г. опубликовано выдающееся сочинение А. П. Котель-никова [27], в котором впервые построено собственно винтовое исчисление. В этой работе использованы комплексные числа с множителем со, введенным Клиффордом, умножением на которые вектор преобразуется в винт. Главная заслуга Котельникова состоит в том, что он впервые в наиболее полном и ясном виде сформулировал «принцип перенесения». Котельникову путем, как он выразился, небольшой уловки, заключавшейся в преобразовании бикватерниона Клиффорда в кватернион с комплексными коэффициентами, удалось установить, что все формулы теории кватернионов суть «неразвернутые» формулы бикватер-нионов, т. е. установить тождественность формул для тех и других. Это, в свою очередь, привело к выводу, что все операции векторного исчисления превращаются в операции винтового исчисления, если в них все вещественные величины заменить комплексными с множителем со. Благодаря этому удалось одним уравнением заменить не три, как в векторном исчислении, а шесть скалярных уравнений, что придает большую компактность записи условий и решению многих задач.

Остановимся на некоторых свойствах и особенностях алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Особенности при решении алгебраических уравнений связаны с особенностью извлечения корня из комплексных чисел.

Если уравнение с комплексными коэффициентами имеет вещественный корень, то, когда дискриминант его вещественной части не равен нулю, уравнения

Теорема. Алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами вида а + соа0 в общем случае имеет комплексные корни