Компоненты жесткости

где nt — компоненты единичного вектора внешней нормали к боковой поверхности (рис. 7);

где /ij — компоненты единичного вектора внешней нормали к граничной поверхности S, Xj — декартовы координаты точек этой поверхности, а е?;. и a°it образуют постоянные тензоры. В однородном теле при любой совокупности граничных условий, (1) или (2), компоненты тензоров напряжений и деформаций постоянны. Если заданы условия (1), то деформации равны е°;., а если заданы условия (2), то напряжения принимают значения 09 В неоднородном теле при условии (1) усредненные по объему деформации равны &°1{, а при условии (2) усредненные по объему напряжения равны a°{j. Доказательство этих утвержде-

Здесь PJ — компоненты единичного вектора, определяющего направление распространения волны, а с — фазовая скорость. Постоянная А представляет собой амплитуду, dm — компоненты единичного вектора, определяющего направление движения частиц. Подставляя выражения (6) в уравнения движения в перемещениях (5), получаем

Здесь Okk — первый инвариант тензора напряжений; о, — коэффициент теплового расширения; Е — модуль упругости; ju — коэффициент Пуассона; Т— температурное поле без источников; л/ - компоненты единичного вектора внешней нормали в точках поверхностей L и S.

где К{ — скалярные компоненты единичного вектора, направленные вдоль капилляров.

где v - фазовая скорость, к - волновое число, пт - компоненты единичного вектора, определяющего направление распространения, то вычисление скоростей сводится к определению компонент тензоров СуЫ и Ту. В частности, в случае усилий,

Здесь п+ rf - компоненты единичного вектора нормали к

•ik nkni /(РсЕтг)' (4.2.28) где л/, «у, л/, rt? - компоненты единичного вектора нормали к поверхности, разделяющей возмущенную и невозмущенную части термоупругой среды, и направленного в сторону невозмущенной части.

где Sjy — компоненты единичного шарового тензора (Sz-^ = 1 при i = / и 8ij = О при i =f=j)- et . — компоненты девиатора деформации, которые определяют только

где IIJTS — компоненты единичного тензора четвертого ранга, выраженные через компоненты 6^- единичного тензора второго ранга.

так как каждая из строк матрицы (2,19) задает компоненты единичного вектора (орта) xt в ортогональных «микроосях», а при i ^ / (2.20) является условием ортогональности двух ортов xt и Xj. Таким образом, из девяти значений aik в (2.19) с учетом (2.20) независимыми будут только три. Это связано, в частности, с тем, что любую ориентацию ортогональных «микроосей» относительно «макроосей» можно задать угловыми координатами Эйлера 9, гр, ср (рис. 2.5), причем углы 9 и ip задают направление одной из «микроосей» (на рисунке — оси k = 3) относительно «макроосей», а угол <р (угол поворота кристаллической решетки вокруг этой «микрооси») отсчитывают от положения меридиана с долготой гр на сфере единичного радиуса. Компоненты а^ выражают через углы Эйлера следующим образом [191:

Упругие характеристики каждого из слоев определяются свойствами компонентов и их объемной концентрацией; построение расчетной модели материала завершается наложением слоев друг на друга. Для этого необходимо компоненты жесткости каждого слоя выписать в системе координат 1, 2, 3, повернутой относительно исходных, в общем случае неортогональных, векторов ty, i — 1,2,3, и воспользоваться, с учетом второго допущения, общими формулами, соответствующими совместному деформированию пакета слоев. При моделировании слоистой среды макронапряжения относятся к отдельному слою, который имеет свои дефор-мативные характеристики. Интегральное осреднение этих напряжений по объему материала, включающему все слои, приводит к средним напряжениям.

Отметим в заключение, что усреднение компонент матрицы жесткости слоев, проведенное для двух характерных типов слоистых композиционных материалов, в случае плоской задачи (см. табл. 3.7) аналогично методу Фойгта [44]. Это усреднение соответствует методу Фойгта для случаев расчета модуля сдвига в плоскости ортогонально-армированного материала и компонент жесткости, относящихся к нормальным деформациям в плоскости равновесного косоугольно-армированного материала. Нерассматриваемые в плоской задаче компоненты матрицы жесткости, характеризующие поперечные свойства слоистого композиционного материала, можно в некоторых случаях рассчитывать по усреднению Фойгта или Рейсса. Так, для косоугольных и ортогональных укладок материала эффективные компоненты жесткости, характеризующие влияние поперечной деформации на напряжения в плоскости, находят, как следует из формул (3.35), (3.41) при Взззз = const, усреднением по Фойгту:

мазанной» сети волокон четырех направлений, указанных выше, то все его компоненты жесткости определятся лишь одним физическим параметром Л', имеющим смысл объемного модуля упругости и модуля сдвига одновременно. Сама матрица (3.69) имеет структуру, соответствующую ортотроп-ному материалу. Этот класс симметрии с известным законом преобразования упругих констант будет определяющим и для всей модели материала, так как вторая ее составляющая изотропна. Отметим также, что матрица жесткости (3.69) вырожденная, т. е. ее определитель

Параметры жесткости модели зависят от экспериментальных данных композиционного материала на начальном участке деформирования. На линейном участке нагружения легко определяются модуль Юнга (fie), коэффициент Пуассона (vc) изотропной составляющей и коэффициент К перед матрицей жесткости (3.69), соответствующей ортотропной составляющей модели. Действительно, три независимые компоненты жесткости материала в осях 123, входящие в левую часть (3.74), считаются известными; их рас-

Используя метод усреднения для компонент тензора жесткости и податливости в отдельности, вводили с целью наилучшей корреляции результатов расчета с экспериментальными данными эмпирический коэффициент, значения которого заключены в пределах 0 < k < 1 [40, 42, 43]. В этом случае эффективные компоненты жесткости пространственно-армированного материала находят по правилу «смеси» усредненных в пределах повторяющегося объема значений компонент тензора жесткости расчетных элементов и их обратного тензора податливости:

где P'II'' k\ (?*_/' ** — компоненты жесткости смежных слоев в направлениях, соответственно параллельном и перпендикулярном направлению волокон. Для их расчета используют

Упругие характеристики каждого из слоев определяются свойствами компонентов и их объемной концентрацией; построение расчетной модели материала завершается наложением слоев друг на друга. Для этого необходимо компоненты жесткости каждого слоя выписать в системе координат 1, 2, 3, повернутой относительно исходных, в общем случае неортогональных, векторов ty, i — 1,2,3, и воспользоваться, с учетом второго допущения, общими формулами, соответствующими совместному деформированию пакета слоев. При моделировании слоистой среды макронапряжения относятся к отдельному слою, который имеет свои дефор-мативные характеристики. Интегральное осреднение этих напряжений по объему материала, включающему все слои, приводит к средним напряжениям.

Отметим в заключение, что усреднение компонент матрицы жесткости слоев, проведенное для двух характерных типов слоистых композиционных материалов, в случае плоской задачи (см. табл. 3.7) аналогично методу Фойгта [44]. Это усреднение соответствует методу Фойгта для случаев расчета модуля сдвига в плоскости ортогонально-армированного материала и компонент жесткости, относящихся к нормальным деформациям в плоскости равновесного косоугольно-армированного материала. Нерассматриваемые в плоской задаче компоненты матрицы жесткости, характеризующие поперечные свойства слоистого композиционного материала, можно в некоторых случаях рассчитывать по усреднению Фойгта или Рейсса. Так, для косоугольных и ортогональных укладок материала эффективные компоненты жесткости, характеризующие влияние поперечной деформации на напряжения в плоскости, находят, как следует из формул (3.35), (3.41) при Взззз = const, усреднением по Фойгту:

мазанной» сети волокон четырех направлений, указанных выше, то все его компоненты жесткости определятся лишь одним физическим параметром Л', имеющим смысл объемного модуля упругости и модуля сдвига одновременно. Сама матрица (3.69) имеет структуру, соответствующую ортотроп-ному материалу. Этот класс симметрии с известным законом преобразования упругих констант будет определяющим и для всей модели материала, так как вторая ее составляющая изотропна. Отметим также, что матрица жесткости (3.69) вырожденная, т. е. ее определитель

Параметры жесткости модели зависят от экспериментальных данных композиционного материала на начальном участке деформирования. На линейном участке нагружения легко определяются модуль Юнга (fie), коэффициент Пуассона (vc) изотропной составляющей и коэффициент К перед матрицей жесткости (3.69), соответствующей ортотропной составляющей модели. Действительно, три независимые компоненты жесткости материала в осях 123, входящие в левую часть (3.74), считаются известными; их рас-

Используя метод усреднения для компонент тензора жесткости и податливости в отдельности, вводили с целью наилучшей корреляции результатов расчета с экспериментальными данными эмпирический коэффициент, значения которого заключены в пределах 0 < k < 1 [40, 42, 43]. В этом случае эффективные компоненты жесткости пространственно-армированного материала находят по правилу «смеси» усредненных в пределах повторяющегося объема значений компонент тензора жесткости расчетных элементов и их обратного тензора податливости:

где P'II'' k\ (?*_/' ** — компоненты жесткости смежных слоев в направлениях, соответственно параллельном и перпендикулярном направлению волокон. Для их расчета используют

Рекомендуем ознакомиться:

Количество промежуточных

Количество радиоактивных

Карбоновыми кислотами

Количество разнообразных

Количество сгоревшего

Количество соответствующих

Количество состояний

Количество связующего

Количество технологических

Количество выделяемой

Меню:

Главная страница Термины