Кинематически допустимой

Отметим также, что в предшествующих рассуждениях обобщенные напряжения и деформации не связаны друг с другом как причина и следствие. Принцип виртуальной работы требует лишь, чтобы обобщенные напряжения были статически допустимыми, а обобщенные деформации — кинематически допустимыми, т. е. чтобы они были получены исходя из кинематически допустимых смещений.

Выражение в левой части (1.27) называется потенциальной энергией упругой конструкции, находящейся под действием заданных нагрузок Ра, для кинематически допустимых смещений р* и соответствующих деформаций q*. Она получается путем вычитания из энергии деформаций для деформаций а*; виртуальной работы нагрузок на смещениях р*. Неравенство (1.27) показывает, что смещения и деформации, дающие решение нашей задачи для конструкции, минимизируют потенциальную энергию (принцип минимума потенциальной энергии).

определенным из всех кинематически допустимых полей скоростей ра и соответствующих полей скоростей деформаций qt. Для доказательства этого допустим, что Я представляет собой минимальное значение выражения (1.35). Обозначим через ра и q/ поля скоростей и скоростей деформаций, доставляющих это минимальное значение. Предположим теперь, что коэффициент нагрузки при пластическом разрушении имеет значение Я > К. Тогда для нагрузки ЯРа должно существовать статически допустимое поле напряжений, нигде не превосходящее предела текучести. Из принципов виртуальной работы и (1.81) следует, что

принимает наименьшее значение при действительных смещениях по сравнению с иными кинематически допустимыми смещениями. Если анализ ограничивается рассмотрением кинематически допустимых полей смещений, для которых виртуальная работа

элемент площади поперечного сечения и Т = / (х) — момент инерции поперечного сечения с координатой х относительно нейтральной оси. Когда балка подвергнута действию распределенной нагрузки р(х), принцип минимума потенциальной энергии требует, чтобы выражение \ EIv"2dx — 2 \ pvdx приняло при действительных прогибах v (х) наименьшее значение по сравнению с его значениями при любых других кинематически допустимых прогибах, т. е. при любых прогибах в С1, удовлетворяющих кинематическим краевым условиям на опорах балки. Условие Эйлера для этого минимального принципа, а именно условие (EIv")" — р = О, дает нам возможность определить прогибы v(x), исходя из нагрузки р (х), когда / (х) задано.

Используя неизменность длины волокна и расстояний между волокнами и вытекающее отсюда свойство прямолинейности нормальных линий, нетрудно указать способ построения кинематически допустимых деформаций.

Для перехода к вариационным постановкам задачи (4.1) — (4.6) для контакта упругого тела с жестким вводится множество кинематически допустимых полей векторов перемещений V и множество статически допустимых полей тензоров напряжений К (табл. 4.4) .

для всех кинематически допустимых вариаций поля перемещений. Условие (7.3.12) эквивалентно уравнениям равновесия упругой системы и совокупности естественных граничных условий. Состояние равновесия устойчиво, если для всех допустимых вариаций

Пример 3. Тонкий прямолинейный упругий стержень длиной / нагружается продольной силой Р. Невозмущенная форма равновесия стержня - прямолинейная. В качестве кинематически допустимых вариаций поля перемещений возьмем малые поперечные прогибы стержня, заданные функцией w(x),x e [0,/]. Потенциальная энергия стержня в возмущенном состоянии может быть представлена в виде

так и для упрочняющегося материалов. Использование кинематически допустимых полей линий скольжения приводит к оценкам разрушающей нагрузки сверху.

т. е. среди кинематически допустимых распределений скорости перемещения, удовлетворяющих заданным значениям Vt (N) — v°i (N), N ? S" на участках S" поверхности тела, истинное распределение с компонентами У* (М), М ? V соответствует стационарной точке функционала (1.168). Можно показать, что при дои (^\ Т)/д?,^ >>0 эта точка является минимумом [39]. Встречный по отношению к (1.168) функционал

так как среднеквадратичная кривизна q\ определяется исходя из кривизны q (x), которая является кинематически допустимой для проекта с*. Подставляя (2.9) в (2.8), мы получаем неравенство

Так как форма и является кинематически допустимой для проекта s, то

Волокна считаются непрерывно распределенными по объему, так что любая материальная прямая, первоначально параллельная оси х, рассматривается как волокно. Волокна являются нерастяжимыми: любой отрезок материальной прямой, параллельной оси х, не меняет своей длины при любой кинематически допустимой деформации. Применительно к деформациям нерастяжимость означает, что компонента вхх( = и,х) тензора деформаций равна нулю для любой частицы. Следовательно, компонента и вектора перемещения, параллельная волокну, должна иметь одно и то же значение всюду в данном волокне, т. е. и = и (у).

Рассматривается несжимаемый материал. Это означает, что при любой кинематически допустимой деформации изменение объема e,-t- равно нулю. Поскольку е22 равно нулю при плоской деформации, а ехх равно нулю из-за нерастяжимости волокон, изменение объема совпадает с е№( = и>у). Следовательно, v = v(x). Таким образом, одновременное использование гипотез о несжимаемости и нерастяжимости приводит к выводу о том, что при плоской деформации расстояние между любыми двумя волокнами не может изменяться. Перемещение v, параллельное прямой х — const, постоянно вдоль любой такой прямой.

Имея полностью определенную деформацию, нетрудно вычислить сопровождающее ее поле напряжений. Заметим, что-компонента охх = Т напряжения не связана с деформацией каким-либо определяющим уравнением. Поскольку эта компонента' напряжения не совершает работы на любой кинематически допустимой деформации, она является реакцией связи, обеспечивающей нерастяжимость волокон. Подобным образом компонента Gyv = —Р является реакцией связи, обуславливающей' неизменность расстояния между любыми двумя волокнами. Какие бы значения ни принимали эти две реакции, они обязательно должны существовать для того, чтобы имели место соответствующие ограничения. Значения реакций определяются; из уравнений равновесия и граничных условий в напряжениях.

При неоднородной деформации бесконечно малый элемент среды можно считать находящимся в однородном деформированном состоянии, следовательно, градиенты деформации по-прежнему должны определяться формулами (21). Однако при неоднородной деформации величина сдвига k и угол наклона волокна 6 будут меняться от точки к точке. Векторы а и п, являющиеся функциями G, также будут меняться при переходе от одной точки тела к другой. При этих условиях градиенты деформации (21) являются более общими, нежели градиенты кинематически допустимой деформации, удовлетворяющей заданным выше ограничениям. Роль градиентов деформации состоит в том, что они полностью определяют локальные значения ди-сторсии и вращения материальных элементов.

Волокна располагаются вдоль кривых, являющихся ортогональными траекториями семейств прямых. Следовательно, они располагаются вдоль параллельных (конгруэнтных) кривых; например прямых или концентрических окружностей. Расстояние между двумя кривыми одного семейства, измеряемое вдоль прямой нормальной линии, является одним и тем же для каждой нормальной линии. Таким образом, при любой кинематически допустимой деформации первоначально прямолинейные и параллельные волокна остаются параллельными, хотя и не прямолинейными. Расстояние между двумя волокнами остается таким же, каким оно было в недеформированном состоянии.

В разд. Ill, H мы покажем, что первоначально параллельные волокна независимо от того, прямолинейны ли они, должны оставаться параллельными при любой кинематически допустимой плоской деформации.

Ранее мы видели, что при наличии достаточного количества граничных условий в перемещениях деформацию можно определить чисто кинематически, не пользуясь уравнениями равновесия. В качестве дополнения к этому результату, как мы сейчас увидим, справедливо утверждение о том, что для любой кинематически допустимой деформации можно построить согласованное •с ней статически допустимое поле напряжений.

прямолинейных и параллельных волокон. Основная теорема, касающаяся кинематики деформаций, состоит в том, что, если в некоторой кинематически допустимой конфигурации тела нормальные линии являются прямыми, то они будут прямыми и для любой кинематически допустимой конфигурации. Иначе говоря, волокна всегда будут параллельными, если они были параллельны в начальном состоянии. Не вдаваясь в излишние подробности, отметим, что при деформации тела, армированного первоначально прямолинейными волокнами, в любой кинематически допустимой конфигурации волокна будут параллельными и переход из одной конфигурации в другую необходимо-сохраняет эту параллельность. Любую из этих конфигураций можно выбрать за начальное состояние тела с начально параллельными и искривленными волокнами. Соответствующие аналитические выводы содержатся в разд. III, О.

Полагая, в частности, К = 1, приходим к формуле для S3(k),. совпадающей с полученной в разд. III, Д. Выражение для плотности энергии W(k,K) для кинематически допустимой деформации общего вида будет приведено в разд. VI, В.