Коэффициентами зависящими

$ 34] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 165

Уравнения движения многих механизмов могут быть представлены линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. К этим механизмам, в первую очередь, относятся те механизмы, для которых инерционные коэффициенты (приведенные массы и моменты инерции), входящие в выражение кинетической энергии, представлены переменными величинами. Однако переменные коэффициенты в дифференциальном уравнении движения механизма могут появиться и при постоянной приведенной массе, если на механизм действуют силы, зависящие от положения звеньев и от времени.

где Cj — постоянные материала. Сравнение с квадратичной формой тензорно-полиномиальной формулировки (5в) дает следующую связь тензоров поверхности прочности с коэффициентами уравнения (77):

Коэффициентами уравнения являются величины, получающиеся в результате «перемножения» эпюр изгибающих моментов от нагрузки внешними силами и единичной нагрузкой, действующей по направлению лишней неизвестной, в основной статически определимой системе, полученной введением шарнира в точках А и А' (фиг. 154, г). Эпюра изгибаю-

Только первое из этих уравнений определяет связь между начальными коэффициентами уравнения системы (11.48). Однако для удобства будем называть оба первых уравнения уравнениями верхних границ. Такой подход сохраним, как уже отмечалось, и для системы других порядков. Для этих систем все уравнения рабочих границ, кроме последнего, будем называть уравнениями верхних границ, а последнее уравнение, определяющее значения коэффициента ап — уравнением правой границы.

Для раскрытия физических закономерностей, о которых сказано выше, будем проводить сравнение рассматриваемой системы с системами четвертого и третьего порядков, коэффициенты уравнений которых совпадают с соответствующими коэффициентами уравнения (11.58). Уравнения для указанных систем имеют вид:

Рассмотрим систему п порядка, для которой все коэффициенты уравнения, кроме последнего, совпадают с коэффициентами уравнения для системы п — 1 порядка. Для системы п порядка осуществлено выделение первой составляющей. Причем выделение этой составляющей осуществлялось на основе прямой задачи разложения процессов и это уравнение пусть оказалось второго порядка.

На рис. VI. 12 (кривая /) показан точный переходный процесс системы (см. рис. VI. 11) с коэффициентами уравнения (VI.60). Здесь же для сравнения показан процесс системы с теми же значениями параметров, кроме реле. Характеристика реле имеет петлю гистерезиса (кривая 2). Численные значения коэффициента возврата соответственно равны: т = 1, т = 0,5.

вычисляются At и Л 2. При этом должно соблюдаться следующее соответствие между коэффициентами в формулах гл. III и коэффициентами уравнения (VII. 119)

Обычно для нахождения критериев подобия процесс описывают безразмерными дифференциальными уравнениями (зависящими только от масштаба). При этом критерии оказываются просто масштабными коэффициентами уравнения.

Этап решения дифференциальных уравнений движения можно миновать для механизмов, уравнения движения которых являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Уравнения имеют общее решение, которое достаточно просто можно ввести непосредственно в программу на ЭЦВМ При создании этих механизмов у конструкторов появляется некоторая свобода выбора схемы. Система с я степенями свободы может иметь п (2п -р 1) постоянных коэффициентов Ct в левых частях дифференциальных уравнений движения. Эгу систему можно заменить одним уравнением 2л порядка с 2« + 1 постоянными коэффициентами В,-. Коэффициенты BI однозначно определяют движение каждого элемента системы, поэтому оптимизировать можно коэффициенты В;. Найденным оптимальным значениям В,- отвечает ряд линейных систем с п степенями свободы, и конструктор может выбрать наиболее рациональную. Однако при таком подходе приходится решать еще дополнительную алгебраическую систему уравнений (равенств нз зависимостей между QI и В; и неравенств, вытекающих из ограничений на реальные значения параметров).

Таким образом, в стационарном случае, т. е. в случае, когда время не входит явно в формулы (9), кинетическая энергия Т является однородной квадратичной формой относительно q{ с коэффициентами, зависящими только от координат qt.

где Г2 — квадратичная форма относительно q с коэффициентами, зависящими только от q,

ростей с коэффициентами, зависящими только от обобщенных координат,

Эти уравнения с переменными коэффициентами, зависящими от угла поворота, можно будет решить только численным методом по малым участкам исследуемого интервала движения.

В зубчатом дифференциале инерционные коэффициенты при указанных допущениях были постоянными. Теперь рассмотрим пример составления уравнений движения механизма с переменными инерционными коэффициентами, зависящими от положений звеньев.

В реальных структурах изломов сигнал с поверхности получается несинусоидальным и сопровождается наложением шумов аппаратуры. В этом случае появляются кратные гармоники. Форма получаемого сигнала связана с профилем поверхности сложной зависимостью с эмпирическими коэффициентами, зависящими от типа прибора и вида разрушенного материала. Поэтому присутствие кратных гармоник лучше определять экспериментально.

где Ф0, Фн К-о — постоянные матрицы порядков соответственно mXi, тХп и mX/г, Ф0(, Ф1(, Kt — матрицы тех же порядков с элементами-функциями времени, Kq— (т X п)-матрица с элементами в виде линейных однородных форм относительно обобщенных координат с постоянными коэффициентами, Kqt — (m X п)-матрица с элементами в виде линейных однородных форм относительно обобщенных координат с коэффициентами, зависящими от времени.

д) Комбинированные критерии. Уменьшение каждого из рассмотренных выше квадратичных функционалов означает повышение качества установившегося движения машины. Вместе с тем, как уже отмечалось, уменьшение одного из этих критериев качества может сопровождаться увеличением других. Поэтому естественно ставить задачу минимизации одного из критериев при ограничениях, накладываемых на другие. Известно, что это эквивалентно минимизации некоторого функционала, являющегося линейной комбинацией исходных функционалов с весовыми коэффициентами, зависящими от выбранных ограничений. Таким образом, мы приходим к комбинированным квадратичным критериям качества управления. Минимизация среднеквадратичной ошибки по скорости при ограничении динамической нагрузки в передаточном механизме эквивалентна минимизации функционала

Из опытов следует, что неизотермическое течение МПС может быть описано двухпараметрической моделью типа Шведова — Бингама с реологическими коэффициентами, зависящими от температуры и состава смазок, согласно уравнению

Современные ЭЦВМ позволяют выполнить исследования колебаний механической системы практически любой сложности. Но изменение структуры модели требует разработки новых алгоритмов и программ расчета, поэтому в последние годы уделяется большое внимание исследованию общих закономерностей колебания сложных механических систем, не зависящих от их конкретной структуры. Наиболее полно эти вопросы освещаются в литературе по акустике, в особенности в работах Е. Скучика [1]. При этом вместо принятых в литературе по механике понятий динамической жесткости, податливости и гармонических коэффициентов влияния применяется терминология, установившаяся для описания переходных процессов в электрических цепях: импеданс, сопротивление, проводимость и т. п. Это связано с использованием получившего широкое распространение в последние годы математического аппарата теории автоматического регулирования и, в частности, с рассмотрением задач в комплексной области. Переход в комплексную область позволяет свести динамическую задачу для линейной системы при гармоническом возбуждении к квазистатической с комплексными коэффициентами, зависящими от частоты. После определения комплексных амплитуд сил Fn и перемещений vn действующие силы и перемещения выражаются действительными частями произведений Faeimt и vneiwt. Такой подход требует также обобщения понятий динамической жесткости и податливости как прямого и обратного отношений комплексной амплитуды силы к амплитуде перемещения. Наряду с податливостью могут использоваться отношения комплексных скорости или ускорения (отличающихся только коэффициентами iu)) к силе.

Динамические податливости определяются разложением колебаний недемпфированной системы по собственным формам с коэффициентами, зависящими от частоты и логарифмических декрементов колебаний, которые определяются на основе экспериментальных исследований аналогичных конструкций.