Колебаний динамической

Из всего многообразия динамических систем второго порядка полезно выделить системы, в которых может осуществляться периодическое изменение состояния системы. На фазовой плоскости периодическому движению соответствует замкнутая траектория. Если эта замкнутая траектория является одной из континуума вложенных одна в другую кривых, то мы имеем дело с консервативной системой. В такой системе период и амплитуда периодических колебаний зависят от начальных условий, а сама система является негрубой.

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированной, она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной.

амплитуда затухает в е раз в течение числа колебаний, равного обратной величине логарифмического декремента затуханий. Если, например, 9=0,01, то колебания затухают лишь примерно после 100 колебаний. В течение 10 колебаний амплитуда изменяется очень мало, примерно на '/ю своего первоначального значения. Благодаря этому при рассмотрении процессов, происходящих лишь в течение небольшого числа периодов, в первом приближении можно считать колебания незатухающими.

Если за один период колебаний амплитуда уменьшилась в 1/у раз, т. е. Л(Г)=уЛо, то для постоянной b в (52.29) получаем уравнение

самой системы: со0 = y~k/m, где k — коэффициент пропорциональности между восстанавливающей силой и смещением, либо моментом восстанавливающей силы и угловым смещением (по предположению, величина постоянная), а т—масса колеблющегося тела (или его момент инерции для крутильных колебаний). Амплитуда X и фаза ф собственных колебаний —также постоянные величины, значения которых можно определить, если известны значения х и v в какие-то определенные моменты времени. Если, например, в момент / = 4 смещение х = xlt а в момент t — t^ скорость v = и2> то> подставляя соответствующие величины в выражения

потери энергии, которые возникают вследствие того, что при больших амплитудах колебаний груза скорость скольжения выходит за пределы падающего участка кривой F(v). «Автоматически» устанавливается такая амплитуда колебании груза, при которой поступление энергии за ту часть периода, когда скорость скольжения груза лежит в пределах падающего участка кривой F(v), как раз компенсирует те потери энергии, которые происходят за другую часть периода вследствие того, что скорость скольжения груза выходит за пределы падающего участка кривой F (v). С этой стационарной амплитудой и будут происходить автоколебания груза.

Другим типичным примером механической автоколебательной системы является часовой механизм. Колебания маятника или баланса часов поддерживаются за счет той энергии, которой обладает поднятая гиря или заведенная пружина часов. Проходя через определенное положение, маятник приводит в действие храповой механизм. При этом маятник получает толчок, пополняющий потери энергии за период. Маятник сам открывает и закрывает доступ энергии из заводного механизма. При нормальном ходе часов энергия, которую получает маятник, как раз равна потере энергии на трение за время между двумя толчками (обычно за полупериод). Поэтому колебания и оказываются стационарными. Если начальное отклонение маятника боЛыпе нормального, то потери на трение оказываются больше, чем поступление энергии из заводного механизма. Колебания затухают до тех пор, пока потери не окажутся равными поступлению энергии. Автоматически устанавливается как раз такая амплитуда колебаний, при которой потери на трение компенсируются поступлением энергии из источника. Следовательно, амплитуда колебаний определяется не величиной начального толчка, а соотношением между потерями и поступлением энергии, т. е. свойствами самой колебательной системы. Это уже знакомая нам по предыдущему примеру характерная черта автоколебаний, отличающая их от собственных колебаний (амплитуда которых определяется начальными условиями).

Амплитуда колебаний всех точек стержня в нашем случае одна и та же, но фаза колебаний различных точек различна. Для двух точек, находящихся на расстоянии хг друг от друга, фазы колебаний, как видно из (19.2), сдвинуты на 2ял;1А. На расстоянии Я, при фиксированном t аргумент функции (19.2), т. е. фаза колебаний, изменяется на величину 2я. Если принять это соотношение для фаз за определение длины волны, то оно формально совпадает с тем определением длины волны, которое было дано в § 149. Но там и здесь одно и то же определение волны применяется к разным явлениям. Из дальнейшего станет ясной связь между этими явлениями (§ 154).

На рис. 1.34, а штриховая линия — график / в случае излучения коротких импульсов. Предполагается, что импульсы имеют колоколообразную форму, причем за период колебаний амплитуда уменьшается в 5 раз. Как видно из рисунка, в случае излучения коротких импульсов максимумы и минимумы заметно сглаживаются. Такой же эффект дает учет затухания ультразвука и множителя х, определяющего диаграмму направленности элементарных источников.

По этому условию подбирают параметры виброизолятора, влияющие на его жесткость. Увеличение демпфирования при (о/Л> У 2 ухудшает виброзащитные свойства виброизолятора (см. рис. 65). Поэтому считается достаточным слабое демпфирование, обеспечивающее затухание свободных и сопровождающих колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний виброизолятора при слабом демпфировании и Х<со

Отсюда следует, что амплитуда колебаний защищаемого объекта относительно неподвижной системы координат может быть как

§ 3. Точечное отображение сдвига Тг и его применение к изучению вынужденных и параметрических колебаний динамической системы.................. 87

и параметрических колебаний динамической системы

секущей поверхности t = const в расширенном фазовом пространстве Ф„+1. Таким образом, мы получаем возможность применять отображение сдвига 7\ для изучения вынужденных и параметрических колебаний динамической системы. В самом деле, пусть т — период изменения параметра или внешней силы, действующей на рассматриваемую динамическую систему. Расширенное фазовое пространство такой системы представляет собою топологическое произведение пространства Ф„ переменных xlt х2, .., хп

При построении динамической схемы редуктора было принято допущение о несвязности поступательных и поворотных движений зубчатых колес. Это допущение, как показывают расчеты, является приемлемым для неконсольных схем расположения зубчатого колеса с валом на опорах. Наряду с указанным допущением будем полагать, что трение в опорах не влияет на форму колебаний динамической системы зубчатое колесо — вал — подшипниковые опоры Тогда будут справедливы соотношения:

На рис. 93 представлен график изменения частоты собственных колебаний динамической системы машины в зависимости of коэффициента k увеличения нагрузок. Варьируя параметры i, R, k, можно обеспечить оптимальное сочетание производитель-

Рис. 93. Изменение частоты собственных колебаний динамической системы машины в зависимости от коэффициента увеличения нагрузки.

Рис. 94. Изменение частоты собственных колебаний динамической системы машины и уровня на-груженности образца при снижении жесткости образца.

Как видно из рис. 94, изменение жесткости образца мало влияет, на частоту собственных колебаний динамической системы машин с упругими преобразователями. Следовательно, большого повышения эффективности возбуждения и разгрузки деталей возбудителя можно достичь без специальной аппаратурной стабилизации режима испытаний, которая необходима только в области значительных коэффициентов динамического усиления и для машин, работающих в режиме резонансных колебаний {см. гл. VII).

Для подобия зубчатой передачи и предлагаемой упрощенной модели параметры динамической модели (масса, закон изменения жесткости пружины) должны быть подобраны таким образом, чтобы закон изменения частоты собственных колебаний динамической модели был одинаков с законом изменения частоты собственных крутильных колебаний зубчатой передачи.

Анализ закона изменения частоты собственных колебаний динамической модели показывает, что частота pz (t) может быть представлена в виде

В результате исследования нелинейных колебаний динамической модели планетарного редуктора можно сделать следующие выводы.