Колебаний определяется

Амплитуда вынужденных колебаний оказывается равной величине статического смещения, т. е. такого смещения груза, которое вызвала бы постоянная сила F0. Когда частота со приближается к частоте со0, то (со^— Рис. 388. — со2)2 уменьшается, X возра-

колебаний оказывается наибольшей тогда, когда наступает явление резонанса, при котором период вынужденных колебаний, создаваемых вращающимся ротором D, равен периоду собственных колебаний станка А. Амплитуда наибольших колебаний отмечается стрелкой Е на закопченной бумаге F. Перед установкой на станок на роторе намечают две плоскости уравновешивания, на каждой из которых устанавливают по одному противовесу. Такие плоскости на рис. 180 обозначены цифрами /—/ и II—И. Центробежные силы противовесов образуют силу и пару сил. Для динамического уравновешивания вектор центробежной силы должен быть равен и противоположно направлен главному вектору сил инерции ротора, а вектор момента пары центробежных сил должен быть равен и противоположно направлен главному моменту сил инерции ротора.

частот вынуждающей силы и свободных колебаний оказывается больше единицы. Такие случаи встречаются, например, если на конструкции установлена машина, имеющая неуравновешенную массу с очень большим числом оборотов в минуту. Может оказаться затруднительным добиться того, чтобы сое значительно превосходило со и, таким образом, система работала бы в дорезонансной зоне при ц, ненамного большем единицы. Для этого пришлось бы делать конструкцию очень жесткой, и следовательно, тяжелой. Приходится идти на то, чтобы удалиться от резонанса, т. е. от близости со/шс к единице, за счет создания конструкции с <вс < со. В таких случаях в процессе пуска машины, когда со увеличивается от нуля, или в процессе останова машины, когда со уменьшается до нуля, система проходит через резонанс; это состояние оказывается самым тя-

Решение многих задач, возникающих в твердых волноводах, в частности расчет их вынужденных колебаний, оказывается возможным, если найдено соотношение ортогональности в более широком смысле. В этом случае результирующее движение волновода можно искать непосредственно в виде разложения в ряд по нормальным волнам, а применение соотношения расширенной ортогональности позволяет вычислять неизвестные коэффициенты разложения.

оборотов электродвигателя 5 при этом увеличивается, что вызывает увеличение перемещений масс и напряженности образца. Если амплитуда колебаний оказывается больше- заданной, то-происходит замыкание вибрирующего контакта и реле реверса включает вращение электродвигателя 2 в обратную сторону, что» уменьшает амплитуду колебаний и возбуждаемые напряжения. Такую схему автоматического управления частотой возбуждения динамических нагрузок можно использовать для их программирования, при этом достаточно величину зазора в вибрирующем контакте менять в' соответствии с заданной программой при помощи, например, кулачка или другого механического или электрического приспособления. Вместе с тем, как показали специальные измерения, способность колебательной системы быстро реагировать на изменение зазора невелика в связи с

2. Демпферы с линейным (жидкостным) трением П. Л. Капицы [15]. Эти демпферы являются аналогом гидравлических демпферов крутильных колебаний. Оказывается, что демпферы П. Л. Капицы очень чувствительны к настройке и, в частности, к температуре рабочего масла. Указанное обстоятельство может причинять неудобства для транспортных турбомашин.

Если ротор привести во вращение, то неуравновешенная его часть будет действовать на подшипники С, и центробежная сила неуравновешенной части будет возбуждать крутильные колебания подвижной части станка. Таким образом, задание закона изменения угла поворота ротора определяет изменение угла <р наклона звена А. В практике балансирования ротора D его приводят во вращение при помощи электродвигателя через фрикционную передачу. После достижения им определенной скорости фрикционное колесо отключают от ротора и последний замедляет свое движение. Так как ротор не уравновешен, то подшипники испытывают действие динамических давлений, векторы которых вращаются и поэтому станок колеблется. Амплитуда таких колебаний оказывается наибольшей тогда, когда наступает явление резонанса, при котором период вынужденных колебаний становится равным периоду колебаний свободных. Амплитуда наибольших колебаний отмечается стрелкой Е на закопченной бумаге F. Перед установкой на станок на роторе намечают две плоскости уравновешивания, на каждой из которых устанавливают по одному противовесу. Такие плоскости на фиг. 59 обозначены цифрами /—/ и //—//. Центробежные силы противовесов образуют силу и пару сил. Вектор центробежной силы противовесов должен быть равен главному вектору сил инерции ротора, и направлен противоположно ему, а вектор момента пары центробежных сил должен быть равен и противоположно направлен главному вектору моментов сил инерции ротора.

Устойчивость параметрических колебаний оказывается зависящей от свойств источника энергии, от величины параметра у, характеризующего нелинейность, от амплитуды колебаний, от момента инерции У и от других параметров системы.

На фиг. 7 приведены полученные по соотношению (21) расчетные графики зависимости динамического коэффициента [г от у при различных значениях параметра Р (для случая с± = 4с2). Как видно, при р ->- со (т. е. при исчезающем трении) сток энергии полностью закрывается и по своим свойствам система приближается к линейной. В случае Р = 0 предполагается, что раскрытие стыка не происходит и частота собственных колебаний оказывается равной р1; при Р -> оо частота собственных колебаний системы приближается к р2.

колебаний оказывается возможным на практике даже при весьма небольшом уровне возмущающей силы.

Интегральное уравнение колебаний лопатки. Для коротких жестких лопаток расчетная частота изгибных колебаний оказывается существенно выше экспериментальной. Это объясняется влиянием деформаций сдвига н погрешностью предположения об абсолютной жесткости заделки.

Минимальная частота колебаний определяется соотношением

Частота колебаний определяется физическими свойствами системы, я амплитуда и фаза т— начальными условиями. В гармоническом колебании скорость опережает по фазе смещение на л/2, » ускорение опережает по фазе скорость на л/2. Наиболее важной особенностью нелинейных колебаний является возникновение высших гармоник. Какие именно гармоники возникают, зависит от характера нелинейности силы.

Это колебание не является периодическим и тем более оно не является гармоническим. Период гармонических (периодических) колебаний определяется как время, через которое колебание повторяется. В случае (52.10) колебания не повторяются, поэтому понятие периода теряет смысл. Тем не менее удобно говорить о периоде этик колебаний, понимая под периодом промежутки времени, через которые смещение обращается в нуль. В этом же смысле можно использовать представление о частоте колебаний й=2я/Г. За амплитуду колебаний принимается величина А=Аое~?', даваемая формулой (52.10), которая равна примерно модулю максимальных отклонений при последовательных колебаниях.

его оси и оси втулки противоположны, силы трения действуют против направления движения маятника. Поэтому они тормозят его движение и энергия колебаний маятника превращается во внутреннюю. Энергия от машины, вращающей втулку, в этом случае также полностью превращается во внутреннюю. Полный результат превращений энергии в течение периода колебаний определяется характером зависимости сил трения от скорости.

Собственные колебания представляют собой колебания около положения устойчивого равновесия. Амплитуда этих колебаний определяется величиной начального отклонения и начальной скорости, т. е. величиной той энергии, которая сообщена телу начальным 'толчком. Вследствие наличия трения эти колебания затухают; собственные колебания в системе никогда не могут быть незатухающими (стационарными). Для поддержания колебаний система должна обладать каким-либо источником энергии, из которого она могла бы пополнять убыль энергии, обусловленную затуханием. Чтобы колебания были стационарными, система за период колебаний должна отбирать от источника как раз столько энергии, сколько расходуется в ней за это же время. Для этого система должна сама управлять поступлением энергии из источника. Такие системы называются автоколебательными, а незатухающие колебания, которые они совершают, — автоколебаниями. К классу автоколебаний относятся, например, рассмотренные в § 52 колебания, которые совершает груз, положенный на движущуюся ленту и удерживаемый пружиной. Как было показано, состояние равновесия груза оказывается неустойчивым и он начинает совершать колебания около этого неустойчивого состояния равновесия в том случае, когда скорость движения ленты лежит нападающем участке кривой, выражающей зависимость силы трения F от скорости скольжения V. Но именно в этом случае часть работы двигателя, приводящего в движение ленту, идет на увеличение энергии колебаний груза.

Другим типичным примером механической автоколебательной системы является часовой механизм. Колебания маятника или баланса часов поддерживаются за счет той энергии, которой обладает поднятая гиря или заведенная пружина часов. Проходя через определенное положение, маятник приводит в действие храповой механизм. При этом маятник получает толчок, пополняющий потери энергии за период. Маятник сам открывает и закрывает доступ энергии из заводного механизма. При нормальном ходе часов энергия, которую получает маятник, как раз равна потере энергии на трение за время между двумя толчками (обычно за полупериод). Поэтому колебания и оказываются стационарными. Если начальное отклонение маятника боЛыпе нормального, то потери на трение оказываются больше, чем поступление энергии из заводного механизма. Колебания затухают до тех пор, пока потери не окажутся равными поступлению энергии. Автоматически устанавливается как раз такая амплитуда колебаний, при которой потери на трение компенсируются поступлением энергии из источника. Следовательно, амплитуда колебаний определяется не величиной начального толчка, а соотношением между потерями и поступлением энергии, т. е. свойствами самой колебательной системы. Это уже знакомая нам по предыдущему примеру характерная черта автоколебаний, отличающая их от собственных колебаний (амплитуда которых определяется начальными условиями).

Условия возбуждения автоколебаний зависят от устройства системы. Так, например, автоколебания груза, удерживаемого пружиной на движущейся ленте, возникают без начального толчка. С другой стороны, для обычных часов необходим достаточно сильный толчок, так как при малой амплитуде колебаний маятника механизм подачи энергии не срабатывает. Однако по прошествии достаточного времени (как будет ясно из дальнейшего) система «забывает» о том, как она была возбуждена, и характер автоколебаний определяется только ее свойствами независимо от особенностей начального толчка.

Наиболее существенное отличие вынужденных колебаний от рассмотренных выше колебаний заключается в том, что частота этих колебаний определяется не свойствами самой системы (как в случае собственных колебаний или автоколебаний), а частотой внешнего воздействия. Мы рассмотрим сначала простейший случай вынужденных колебаний, возбуждаемых внешней силой, которая изменяется по гармоническому закону.

исключить эти более сложные движения, достаточно, просверлив по диаметрам шаров каналы, соединить их жестким стержнем, вдоль которого шары могут скользить без трения (рис. 421). Такая система отличается от рассмотренных в § 96 гантелей только тем, что расстояние между шарами гантели может уменьшаться и увеличиваться. Так как при этом между шарами возникают упругие силы, то эту систему можно назвать упругой гантелью. В упругой гантели возможен только один тип движений, при котором соблюдаются законы сохранения как импульса, так и момента импульса, — это колебания шаров вдоль стержня с равными по величине и противоположными по направлению скоростями, при которых центр тяжести О двух шаров остается в покое, или, иначе говоря, противофазные колебания. Поскольку оба шара колеблются так, что остаются на одинаковом расстоянии от точки О, то положение шаров однозначно определяется заданием только одной величины — расстояния обоих шаров от точки О. Таким образом, упругая гантель, до тех пор пока она является замкнутой системой, ведет себя как колебательная система с одной степенью свободы в том смысле, что в упругой гантели может происходить только одно гармоническое колебание —противофазное (в системе с двумя степенями свободы, как мы видели в § 145, могут происходить два типа гармонических колебаний —синфазные и противофазные).

где т —масса каждого из шаров упругой гантели. Амплитуда колебаний, возникающих в упругой гантели, как и во всех случаях возникновения свободных колебаний, определяется начальными условиями.

Так же как в системе, состоящей из отдельных масс, выбором соответствующих начальных условий в стержне можно возбудить то или иное из свойственных ему нормальных колебаний. При произвольном выборе начальных условий в стержне сразу возбуждаются в той или иной степени все нормальные колебания, которыми обладает эта система. Всякое колебание стержня, возникающее в результате начального толчка, представляет собой суперпозицию тех или иных нормальных колебаний. В системе, состоящей из отдельных масс, возникновение тех или иных нормальных колебаний определяется характером начальных отклонений всех масс. Точно так же в струне возникают различные нормальные колебания в зависимости от характера начального отклонения струны. Оттягивая струну в различных точках, мы будем возбуждать в ней, вообще говоря, различные нормальные колебания. Поэтому и характер звука, издаваемого струной, будет, вообще говоря, различным.