Канонические уравнения

§ 8. Канонические преобразования................... 311

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 311

§ 8. Канонические преобразования

Канонические преобразования могут быть использованы для того, чтобы упростить систему уравнений Гамильтона, сделать ее более удобной для интегрирования. Далее канонические преобразования будут использованы для того, чтобы получить из уравнений Гамильтона иную форму уравнений движения — уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби.

§ 8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 315

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 319

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§. 5.4. Скобки Пуассона. Теорема Якоби — Пуассона . . . 132 § 5.5. Канонические преобразования.........137

§ 5.5. Канонические преобразования

Прежде чем рассмотреть канонические преобразования, познакомимся с преобразованием Лежандра, имеющим в теории канонических преобразований существенное значение. Пусть дана какая-либо функция ii от « = = 2s-f-l переменных Xi, x->, ..., хп:

3. Составляются канонические уравнения метода сил, математически выражающие условие эквивалентности основной и заданной систем:

§ 2. Канонические уравнения (уравнения Гамильтона)........ 260

§ 2. Канонические уравнения (уравнения Гамильтона)

§ 2. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА) 261

§ 2. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА) 263

Уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике используется, главным образом, в тех случаях, когда по каким-либо причинам легче найти полный интеграл этого уравнения, чем проинтегрировать канонические уравнения. Примеры такого рода будут приведены в следующем параграфе. Роль уравнения Гамильтона — Якоби для теоретической физики состоит в том, что уравнение Шредингера, являющееся основным уравнением квантовой механики, в пределе переходит в уравнение Гамильтона — Якоби классической механики. Именно через уравнение Гамильтона—Якоби устанавливается контакт между классической и квантовой механикой.

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального инварианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях: во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до п, а от двух до л; во-вторых, вместо гамильтониана Н в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Р! (см. выражение (138)); в-третьих, роль t играет теперь <7i- Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре —Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения

§ 5.2. Канонические уравнения Гамильтона.......122

§ 5.3. Канонические уравнения при наличии циклических координат..................128

!i нений Гамильтона. Канонические уравнения возмущенного движения..............250

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА