Канонических уравнений

Она отличается от большей части ранее изданных курсов теоретической и аналитической механики систематически проведенным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета. На этой идее базируется как изложение основных понятий механики, так и обоснование лагранжева и гамильтонова формализма. Большое внимание уделяется теореме Э. Нётер и интегральным инвариантам, которые положены в основу изложения теории канонических преобразований и формализма Гамильтона — Якоби.

Естественно возникает вопрос: по отношению к какому классу преобразований q и р ковариантны уравнения Гамильтона? Класс преобразований q, p, по отношению к которым уравнения Гамильтона ковариантны, называется классом канонических преобразований. Разъясним это определение подробнее.

В случае свободных канонических преобразований можно задаваться произвольными старыми и новыми обобщенными координатами q и q* и определить по ним старые и новые импульсы р и р*. Старые импульсы находятся из первой группы уравнений (123), а новые импульсы — из второй группы этих уравнений (при подстановке вместо р выражений, полученных ранее из первой группы уравнений).

Итак, произвольный выбор производящей функции S, удовлетворяющей условию (129), сразу позволяет получить как формулы для соответствующих свободных канонических преобразований, так и выражение для гамильтониана преобразованной системы через новые гамильтоновы переменные. В этом смысле выбор функции S и числа с^=0 задает свободное каноническое преобразование.

В заключение этого параграфа заметим, что последовательное выполнение нескольких канонических преобразований также представляет собой каноническое преобразование с валентностью с, равной произведению валентностей выполненных преобразований, так что множество канонических преобразований образует группу. Унивалентные преобразования составляют ее подгруппу.

Прежде чем рассмотреть канонические преобразования, познакомимся с преобразованием Лежандра, имеющим в теории канонических преобразований существенное значение. Пусть дана какая-либо функция ii от « = = 2s-f-l переменных Xi, x->, ..., хп:

Перейдем к рассмотрению канонических преобразований. В общем случае канонических преобразований при переходе от переменных qn, Pm, t к переменным q'm, p'm, t канонические уравнения

Воспользуемся вторым типом канонических преобразований, когда ty = ty(q, р'). В соответствии с формулами (5.51) Н — Н', т. е.

В § 5.3 было выяснено, что наличие k циклических обобщенных координат у рассматриваемой системы позволяет получить для этих координат решение (5.23). В связи с этим естественно поставить вопрос о возможности нахождения такого канонического преобразования, при котором в преобразованных уравнениях Гамильтона функция //' не будет содержать обобщенных координат, т. е. все новые обобщенные координаты будут циклическими. Предположим, что, пользуясь вторым типом (см. стр. 146) канонических преобразований, где

Она отличается от большей части ранее изданных курсов теоретической и аналитической механики систематически провиденным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета. Эта идея положена в основу изложения как основных понятий механики, так и обоснования лагранжева и гамильтонова формализма. Большое внимание уделяется теореме Э. Нетер и .интегральным инвариантам, которые положены в основу изложения теории канонических преобразований и формализма Гамильтона — Якоби.

В силу этого можно выписать независимую систему канонических уравнений для нециклических координат:

Заменяя в этом равенстве 4/ и р;- их выражениями из канонических уравнений Гамильтона, получаем

Рассмотрим, далее, произвольную систему канонических уравнений Гамильтона с некоторым фиксированным гамильтонианом Н и применим к ней преобразование (113). Может случиться, что полученные уравнения окажутся уравнениями Гамильтона с некоторым гамильтонианом Н*. Но может случиться и так, что уравнения, полученные в результате преобразования, уже не будут иметь вид уравнений Гамильтона.

Разумеется, «новый» гамильтониан Н* как функция новых переменных q*, р* может отличаться от «старого» гамильтониана Н как функции старых переменных q, р — именно поэтому речь идет о ковариантности, а не об инвариантности канонических уравнений по отношению к преобразованиям (ИЗ).

Итак, мы реализовали намеченную в начале этого параграфа программу и определили движение системы, обходя интегрирование канонических уравнений Гамильтона. Правда, при этом нам понадобилось найти полный интеграл уравнения в частных производных.

Воспользуемся теперь первым из канонических уравнений Гамильтона—уравнением для qL:

Таким образом, поставленная задача полностью решена — при исследовании консервативных и обобщенно консервативных систем выписаны уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (или типа Лагранжа), но порядок систем этих уравнений уменьшен на два за счет использования интеграла энергии и введения независимой квадратуры (147).

Полученная система 2s уравнений первого порядка называется системой канонических уравнений Гамильтона.

Если для всех значений qm и рт, являющихся решением канонических уравнений Гамильтона

назыь-ается интегралом канонических уравнений Гамильтона.

H(q{, q2, ..., qs, Pi, p2, ••-, Ps) = h есть интеграл канонических уравнений.