Колебаний рассмотрим

Во второй части учебника изложены основные положения динамики стержней, дан вывод уравнений движения стержней в линейной и нелинейной постановке; приведены уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней с изложением численных методов определения частот и форм колебаний. Большое внимание уделено неконсервативным задачам с изложением методов исследования динамической устойчивости малых колебаний. Рассмотрены параметрические и случайные колебания стержней. Приведены примеры численного решения прикладных задач с использованием ЭВМ.

Для исследования колебаний стержней необходимо иметь соответствующие уравнения движения. Поэтому первые параграфы данной главы посвящены выводу основных уравнений малых колебаний пространственно-криволинейных стержней. Остальные параграфы главы посвящены частным случаям уравнений малых колебаний.

ножных записей уравнений малых колебаний пространственно-криволинейного стержня:

Векторные уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней, полученные в данном параграфе, охватывают очень большой класс прикладных задач из самых разнообразных областей техники.

В предыдущих главах, посвященных изложению основных теоретических положений динамики стержней, были даны методы вывода уравнений движения пространственно-криволинейных стержней, нагруженных переменными во времени распределенными и сосредоточенными силами. Наряду с «мертвыми» силами рассматривались и другие возможные силы, которые могут зависеть от линейных и угловых перемещений и их первых производных по независимым аргументам. Были получены уравнения малых колебаний и изложены численные точные и приближенные методы определения частот и форм колебаний пространственно-криволинейных стержней.

графе приводятся только основные методы решения для наиболее простых случаев параметрических колебаний прямолинейных стержней. Однако приведенные методы могут быть использованы и при исследовании параметрических колебаний пространственно-криволинейных стержней. Приведем несколько примеров уравнений параметрических колебаний прямолинейных стержней.

Основные задачи. В § 9.2 были получены общие уравнения (9.19) — (9.21) малых колебаний пространственно-криволинейных трубопроводов, заполненных нестационарным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Ограничимся случаем, когда трубопровод постоянного сечения (/72=const); при периодическом изменении нестационарных составляющих потока жидкости [соотношения (9.32)] имеем ш^+Г) =wi(t); Pi(t+T) =P\(t). Как уже указывалось в $ 9.2, основная особенность малых колебаний трубопроводов при нестационарном потоке жидкости заключается в том, что эти колебания '(для криволинейных трубопроводов) всегда вынужденные [из-за слагаемых AHQn(1) и dQn/de, см. уравнение (9.36)]. При периодическом изменении w\ и PI составляющая осевого усилия Qn (9.32) будет периодической функцией времени, поэтому уравнение '(9.36) описывает вынужденные параметрические колебания трубопроводов. Исследование параметрических колебаний трубопроводов включает в себя две независимые задачи: а) исследование устойчивости параметрических колебаний с определением областей неустойчивости; б) определение параметров (амплитудных значений компонент вектора состояния) установившихся вынужденных параметрических колебаний.

При переходе к углам ( к вектору ft) уравнение (8.13) обращается в тождество, поэтому после исключения из (8.11) ДМ и преобразований получаем еще одну из возможных записей уравнений малых колебаний пространственно-криволинейного стержня:

1. Уравнения малых колебаний пространственно-криволинейного стержня. Уравнения движения гибкого нерастяжимого стержня, имеющего продольное движение, были получены в § 39 (рис._8_.10)._Полагая в_уравнениях_(7.86)— (7.87) tp = Q&'} + -f- AQ; x = x0 -f- Аи; M = M0 + AM и т.д. (как это было сделано при выводе уравнений малых колебаний в § 40), получим следующие векторные уравнения малых колебаний, выраженные через локальные производные (при % = 1), в связанной системе координат: ,

§ 41. Определение частот и форм" колебаний пространственно-криволинейных стержней....................... 184

Для рассмотрения связанных колебаний пространственно-многомерных механических цепей наиболее удобны общие методы исследования линейных систем с конечным числом степеней свободы (см. том 1, часть I). Однако при исследовании довольно распространенных пространственно-одномерных механических цепей для инженерных целей более удобными оказываются методы, в которых уравнения движения системы находят непосредственно из топологии рассматриваемой механической цепи на основе законов Кирхгофа. Ниже при рассмотрении пространственно-одномерных цепей двухполюсников введены воспринимаемые силы, параметры двухполюсников и их ассоциированные направления, выбираемые одинако-

(а) Проектирование при заданной основной частоте колебаний. Рассмотрим консольную балку длиной /, к концу х = I которой прикреплена сосредоточенная масса т. Балка должна иметь кусочно-постоянное трехслойное сечение вида, указанного в начале разд. 2.1. Она должна иметь минимальный вес, причем ее основная частота колебаний 0 задана.

Маятниковые инерционные динамические гасители. Поддержание равенства парциальной частоты динамического гасителя с частотой возбуждения в широком диапазоне может быть обеспечено при использовании гасителей колебаний маятникового типа, расположенных в поле центробежных сил, образованном вращением, являющимся причиной колебаний. На рис. 10.20 показаны схемы подобных гасителей, предназначенных для подавления крутильных (рис. 10.20. а) и продольных (рис. 10.20,6) колебаний. Рассмотрим принцип их действия на примере маятникового гаси-

Поглотители колебаний с сухим трением. Поглотители колебаний с сухим трением получили широкое распространение благодаря простоте конструкции и обслуживания, а также относительно малым габаритам. Их применяют для гашения как крутильных, так и продольных колебаний. Рассмотрим принцип действия такого поглотителя на примере гашения крутильных колебаний объекта с одной степенью свободы (рис. 10.37). В этом случае диск с моментом инерции /, присоединяется к объекту с помощью пары сухого трения, создающей при относительных колебаниях момент постоянной величины 0, противодействующий относительному смещению объекта и поглотителя.

Для выяснения физической картины явления разрывных колебаний рассмотрим эту же задачу, приняв, что т =т^ 0 [2]. Так как нас интересует в основном качественная

рочно распространять на дискретные системы, поскольку, рассматривая сплошную систему, мы пренебрегли неоднородностями, обусловленными атомной структурой стержня. Чтобы выяснить вопрос о том, в какой мере атомная структура может повлиять на характер нормальных колебаний, рассмотрим нормальные колебания одномерной дискретной системы, представляющей собой цепочку из п (п J> 1) одинаковых масс т, связанных между собой одинаковыми подчиняющимися закону Гука пружинами с коэффициентом упругости а (моделью этой системы может служить прибор, изображенный на рис. 269). Массы т соответствуют массам атомов «одномерной кристаллической решетки», а пружины — силам взаимодействия между атомами. Смещения масс происходят вдоль цепочки.

Маятниковые инерционные динамические гасители. Поддержание равенства парциальной частоты динамического гасителя с частотой возбуждения в широком диапазоне может быть обеспечено при использовании гасителей колебаний маятникового типа, расположенных в поле центробежных сил, образованном вращением, являющимся причиной колебаний. На рис. 10.20 показаны схемы подобных гасителей, предназначенных для подавления крутильных (рис. 10.20, а) и продольных (рис. 10.20, б) колебаний. Рассмотрим принцип их действия на примере маятникового гаси-

Поглотители колебаний с сухим трением. Поглотители колебаний с сухим трением получили широкое распространение благодаря простоте конструкции и обслуживания, а также относительно малым габаритам. Их применяют для гашения как крутильных, так и продольных колебаний. Рассмотрим принцип действия такого поглотителя на примере гашения крутильных колебаний объекта с одной степенью свободы (рис. 10.37). В этом случае диск с моментом инерции /г присоединяется к объекту с помощью пары сухого трения, создающей при относительных колебаниях момент постоянной величины 6, противодействующий относительному смещению объекта и поглотителя.

Рассмотрим теперь двумерную рамную конструкцию, обладающую двумя плоскостями зеркальной симметрии (рис. 7.26,6). Здесь, очевидно, имеются четыре независимых типа собственных колебаний. Чтобы их найти, не обязательно рассчитывать всю раму, а достаточно рассмотреть ее четвертую часть, например ту, что заштрихована на рис. 7.26, б, задав в точках разреза конструкции (/1, 0) и (0, 1%) соответствующие граничные условия (7.46) — (7.49). При этом, как нетрудно показать, порядок

Собственные частоты и формы колебаний. Рассмотрим некоторые особенности расчета колебаний в многомассовых системах на примере динамической модели механизма, приведенной на рис. 35.

Рассмотрим, какую форму будут иметь периодические колебания свободного стержня, на который не действует никакая внешняя сила. Угловую частоту колебаний обозначим через со. В этом случае интеграл уравнения (5.01с) можно принять в виде = ~Х( r)t''u .

В качестве примера использования приведенного подхода для исследования собственных колебаний рассмотрим ряд модельных задач, имеющих самостоятельное значение.