Колебаний собственные

Уравнение (1. 20) определяет амплитуду колебаний механической системы при заданном возбуждении. В окрестности частоты cofc амплитуды колебаний зависят в основном от резонирующего члена ряда Akv^. Чтобы, обеспечить минимальные динамические нагрузки на фундамент в местах крепления механизма, необходимо стремиться к их расположению вблизи узлов формы колебаний vkn и минимизации коэффициентов Ak, которые убывают с увеличением коэффициента вязкого трения ц, эквивалентной массы формы колебаний mk и уменьшением работы внешней силы на перемещениях рассматриваемой формы колебаний. Следовательно, возбуждение необходимо прикладывать вблизи узлов формы колебаний. При симметричном возбуждении кососимме-тричных форм и кососимметричном возбуждении симметричных форм соответствующие им коэффициенты Ak обращаются в нуль.

Динамическая жесткость и демпфирование амортизатора зависят от частоты вследствие изменения динамического модуля упругости резины и отношения длины волны к толщине резинового массива. Если колебания резинового массива описывать зависимостями, аналогичными продольным и сдвиговым колебаниям, стержня, то переходная жесткость оказывается пропорциональной произведению 2it/y/JSp/sin (2mfh/a), где / — частота возбуждения; Е — модуль упругости; р — плотность резины; а// — длина волны в резине; h — толщина резинового слоя. При / -> 0 это произведение стремится к E/h, а при fn=an/2h, где п — целое число, достигает максимальных значений. На этих же частотах амортизатор обеспечивает максимальное демпфирование колебаний. Следовательно, жесткость и потери в амортизаторе можно считать не зависящими от частоты только на частотах, значительно' меньших a/2h. Так, для резины с модулем упругости 50 кгс/см2 скорость продольной волны а ты 7-Ю3 см/с и при толщине резинового слоя 4 см повышение жесткости наблюдается уже на частотах 400—500 Гц. На рис. 40 приведена частотная зависимость, потерь энергии A W, отнесенных к квадрату вертикальных илж

Поскольку интересно знать зависимость демпфирования от действительной средней скорости, то суммирование производится в отдельных интересующих исследователя частотных диапазонах. При этом следует иметь в виду, что при увеличении частоты ширина полосы резонансных форм колебаний становится равной интервалу частот или большей, чем интервал частот, расположенных между последовательными формами колебаний. Следовательно, в спектре реакции системы с определенными граничными условиями существует некоторая критическая частота, ниже которой отдельные реакции форм будут отчетливо различаться и выше которой реакции форм сливаются в плавную кривую. Эта частота определяется как еп = А(о„, где еп — интервал частот, расположенный между последовательными формами; Асо„ — ширина полосы п формы колебания на уровне половинной мощности. Так как ширина полосы формы для достаточно малого демпфирования (ц2 <^ 1) равна т[<оп} то критическая частота опреде-

ниже этой критической частоты квадрат усредненной скорости сложной колеблющейся системы будет определяться реакциями нескольких форм без заметного влияния этих форм друг на друга. Это позволяет осуществить полную идентификацию теории колебаний систем со сосредоточенными и распределенными параметрами с измеряемыми характеристиками изолированных форм низших порядков, которые лежат достаточно низко относительно критической частоты системы. Следовательно, резонансы пластин низшего порядка непосредственно .регулируются демпфированием. Согласно выражению (V.44), распределенное сопротивление формы колебания Rn (А) связано с коэффициентом потерь и

Как следует из рис. 79, вязкое поведение у приведенных пластмасс начинается в области максимума на кривой температурной зависимости затухания колебаний. Следовательно, вязкость пропорциональна гасящей способности материала. Подобная зависимость справедлива также и для армированных пластмасс [22]. Надрез влияет на величину работы, необходимой для разрушения испытуемого образца, и на положение переходной области. В момент удара образец деформируется и образуются напряжения, величина и распределение которых зависят как от формы и глубины надреза, так и от основных размеров испытуемого образца [16 и 17].

дующих тонах колебаний. Следовательно, можно считать предложенную методику моделирования достаточно надежной.

Для того чтобы определить влияние периодического возмущения скорости на осредненную по времени теплоотдачу, необходимо мгновенные значения тепловых потоков, температуры жидкости и стенки проинтегрировать по всему циклу колебаний. Согласно приведенной выше методике расчета нестационарная теплоотдача практически симметрична как относительно продольной оси х, так и относительно полупериода колебаний. Следовательно, средняя теплоотдача практически мало отличается от соответствующего стационарного значения. Такая ситуация может иметь место только при сравнительно малых значениях относительной амплитуды и частоты колебаний. При сравнительно больших амплитудах колебаний, во-первых, в канале могут возникать обратные или вихревые течения, а во-вторых, в пределах цикла колебаний может возникать переход ламинарного течения в турбулентное. Такая ситуация возникает в том случае, если в момент ускорения потока мгновенная средняя скорость жидкости достигнет значения, которое соответствует критическому числу Рейнольдса (Re > > Кекр)- Следует также иметь в виду, что при наличии периодического возмущения скорости жидкости значение критического числа Рейнольдса может быть меньше, чем для стационарного режима течения. Кроме этого, при высоких частотах и достаточно сложном сигнале возмущения скорости может генерироваться искусственная турбулентность под действием интенсивных акустических волн. Эти эффекты могут существенно повлиять на средний по времени коэффициент теплоотдачи. Как правило, интенсивные колебания скорости или давления жидкости приводят к увеличению среднего по времени коэффициента теплоотдачи. Рассмотрим результаты экспериментальных исследований.

Анализ величин, входящих в эти комплексы, показывает, что Ц и q являются функциями процесса. Необходимо отметить, что величина q, входящая в критерии, обратно пропорциональна времени Т, протекающему от момента истечения струи из форсунки до начала ее распада, и характеризует скорость нарастания амплитуды возмущающих колебаний. Следовательно, вместо q можно написать —.

Если все корни располагаются в левой полуплоскости (фиг. 278), то все составляющие и сам результирующий переходный процесс являются сходящимися. Однако скорость сходимости каждой составляющей зависит от величины вещественной части корня характеристического уравнения. Чем меньше величина этой части, тем медленнее затухает составляющая. Поэтому при изучении переходного процесса наибольший интерес должны представлять составляющие с наименьшей вещественной частью корня характеристического уравнения. Если, в частности, эта вещественная часть корня оказывается равной нулю, корень попадает на мнимую ось, что свидетельствует о появлении в системе незатухающих колебаний. Следовательно, чем дальше расположены корни от мнимой оси, тем большей степенью устойчивости должна обладать исследуемая система.

И, наоборот, если такая же пластина используется как приемник, то возбуждаемое на ней напряжение холостого хода (без нагрузки от измерительных приборов) будет пропорционально амплитуде колебаний. Следовательно, это напряжение приема на пьезопластине тоже будет иметь несимметричную форму, как на рис. 7.9.

Колебания, которые совершает система около положения устойчивого равновесия после того, как она была выведена из состояния равновесия, носят название собственных или свободных колебаний. Рассмотренные нами колебания маятника или груза на пружине являются примером собственных колебаний. Собственные колебания возникают в результате достаточно быстрого изменения действующей на тело силы, т. е. воздействия, имеющего характер толчка. Чтобы возникли собственные колебания, нужны столь быстрые изменения СйЛы, при которых ее величина успеет заметно измениться за малую

Для изгибных колебаний собственные частоты равны

Для крутильных колебаний собственные частоты определяются следующим образом:

Проведем теперь, учитывая указанные пределы изменения дт и с„, исследование влияния этих параметров на собственные частоты колебаний системы, показанной на рис. 0. 1, в. При этом значения основных параметров выберем в соответствии с данными угольного комбайна «Донбасс-2»: приведенная масса ротора двигателя пгд ss 1000 кГ-сек2/м; приведенная масса исполнительного органа mD <== 100 кГ-сек*/м; приведенная жесткость трансмиссии ст = 1,5-109 кГ/м.

Как известно из общих курсов теории колебаний, собственные частоты линейной двухмассовой системы, подобно рассматриваемой, находятся из выражений, имеющих при принятых обозначениях вид [46]:

где Pi и р2 — собственные частоты колебаний. Подставляя в эти выражения принятые выше значения пгр и тд и изменяя в реальных пределах сп и сг, получим графики (сплошные линии на рис. 0. 3, а и б), иллюстрирующие влияние соотношения сп и ст на собственные частоты рассматриваемой упругой системы. Пунктирными линиями на этих рисунках показаны соответствующие графики для упрощенных одночастотных систем, схемы которых приведены на рис. 0. 4. Сравнение кривых на рис. 0. 3 приводит к выводу, что при ст ^> сп низшая собственная частота рассматриваемой системы практически равна собственной частоте одномас-совой системы с упругим элементом жесткостью спр> полученной в результате применения метода Рэлея (рис. 0. 4, а). Высшая собственная частота практически также совпадает с собственной частотой свободно движущейся в пространстве двухмассовой системы (рис. 0. 4, б). Рассмотрим вынужденные колебания в рассматриваемой системе (рис. 0. 5), вызванные периодическими внутренними (т. е. действующими внутри трансмиссии) силами, принимая прежние значения основных параметров системы и условно полагая амплитуду внешнего возмущения 5 = 103 кГ. Как известно из теории колебаний, амплитуды колебаний масс системы в таком случае определяются выражениями:

С возрастанием скоростей быстроходных машин учет случайной природы параметров становится особенно необходимым в связи с заметным влиянием их изменчивости на формы колебаний,. собственные частоты и критические скорости высших порядков. В связи с этим в условиях массового изготовления целесообразно производить вероятностную оценку динамических характеристик гиросистем в зависимости от случайных разбросов распределенных и сосредоточенных параметров в пределах полей допусков.

Вместе с тем из спектра собственных колебаний рабочего колеса, рассматриваемого как единая упругая система, можно выделить части, которые в известной мере допустимо рассматривать как «лопаточные» или «дисковые». Критерием такой допустимости может служить степень близости частотных функций основной системы к парциальным частотным функциям. К лопаточным участкам спектра могут быть отнесены части ветвей частотных функций основной системы, располагающиеся по обе стороны от зон с сильной интерференцией и асимптотически приближающиеся к горизонталям, являющимся частотными функциями парциальной системы жесткий диск — упругие лопатки. На этих ветвях собственные частоты системы могут практически совпадать с собственными частотами изолированной лопатки, закрепленной замковой частью в неподвижном основании. Аналогично, собственные частоты, лежащие на участках частотных функций основной системы, практически совмещающихся с частотными функциями парциальной системы упругий диск — жесткие лопатки, рассматривают как собственные частоты «дисковых» колебаний. Собственные формы колебаний системы, отвечающие «лопаточным» и «дисковым» частотам, близки, по крайней мере качественно, к соответствующим собственным формам парциальных систем.

Расчет собственных частот и форм колебаний. Собственные частоты колебаний определяют по значениям корней функции А (а). При нахождении корнейщ используют следующие свойства этой функции1

Уравнения свободных колебаний. В большинстве практических случаев колебания исследуемой реальной механической системы близки к колебаниям некоторой идеализированной линейной системы с эквивалентным вязким трением. Исключение представляют специальные случаи, когда реальная конструкция содержит элементы с резко выраженными нелинейными свойствами. Их следует рассматривать отдельно. Целесообразен подход к реальной распределенной конструкции как к идеализированной системе, с конечным числом степеней свободы, имеющей определенные собственные характеристики, которыми с достаточной точностью определяют колебания исследуемой конструкции, поскольку практически исследуют ограниченное число собственных тонов. Таким образом, если принять характер демпфирования «вязким» (силы трения пропорциональны скорости), то предметом рассмотрения является линейная система с п степенями свободы, дифференциальное уравнение движения которой можно представить в следующем виде:

значения действительных <т,'0 и х,- определяются начальными условиями, vk. (элементы модальной матрицы V) — безразмерные коэффициенты распределения амплитуд (действительные числа) — определяют форму колебаний. Собственные колебания одной частоты происходят без сдвига фаз во всех координатах, и соотношения амплитуд колебаний этой частоты определяются величинами v^/, не зависящими от начальных условий и способа возбуждения. Если амплитуда колебаний задана одной