Колебаний уравнения

Из формулы (52.10) видно, что амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,7 раза в течение времени

характерному для гармонических колебаний. Таким образом, между моментами времени, при которых скорость обращается в нуль, колебание является гармоническим с частотой со= i/D/m, но происходит оно относительно точки равновесия, смещенной в сторону отклонения на Ах=/го/?>. В результате за один период точка максимального отклонения приближается к первоначальной точке на величину 4F0/D, т. е. амплитуда уменьшается на ДЛ = — 4/70/D. Это означает, что амплитуда колебаний уменьшается пропорционально времени, а не по экспоненциальному закону.

Исследования, проведенные авторами совместно с И. Н. Разуваевой и М. Б. Боду-новой, а также исследования С. С. Ушкова показали, что в процессе старения, казалось бы, однородных а-твердых растворов происходит серьезное изменение физических, механических и электрохимических характеристик сплавов: незначительно повышается прочность, модуль нормальной упругости, снижается логарифмический декремент затухания колебаний, уменьшается вязкость разрушения и заметно снижается коррозионно-механическан прочность металла. Причиной этого является, как правило, образование в однородных а-твердых растворах кристаллографически ориентированных сегрегации алюминия, являющихся предвыделениями а,-фазы [10, с. 541—545]. В однородных (3-твердых растворах, легированных хромом, могут возникать предвыделения TiCr2 также в виде трудновыявляемых структурными методами сегрегации. Наличие сегрегации алюминия и серы на межфазных или межзеренных границах также обнаружено прямыми методами исследований (Оже-спектроскопия поверхности изломов [ 6]).

•q — 0; с ростом q частота этих колебаний уменьшается и стано-

р, амплитуда колебаний уменьшается в дорезонансной области, а в заре-зонансной — увеличивается.

Как показало моделирование, ширина и расположение областей захватывания существенно зависят от значений и и у. При одном и том же значении у )> 0 с увеличением величины и правая граница зоны захватывания сдвигается влево, максимальная амплитуда колебаний уменьшается. При у < 0 с увеличением скорости и левая граница зоны захватывания сдвигается вправо и соответствующая амплитуда уменьшается. При и=const и у < О с увеличением модуля у увеличивается амплитуда колебаний; при определенном значении у наблюдается неограниченный рост перемещения х.

колесо, амплитуда колебаний уменьшается в k раз, то -т- = е~

Одним из удобных методов изучения зависимости сил трения и сопротивления среды от скорости является наблюдение затухания под влиянием этих сил колебании маятника. Если подвесить груз (например, в виде шара) на тонкой нити к неподвижной опоре и привести его в колебания в определенной вертикальной плоскости, то можно наблюдать, что размахи колебаний, т. е. углы максимального отклонения нити от вертикального положения, будут постепенно убывать, уменьшаясь по 'определенному закону с каждым колебанием. Это явление «затухания» колебаний есть следствие наличия силы сопротивления воздуха движению маятника, приводящего к превращению энергии видимого движения в тепло. По мере уменьшения размаха (амплитуды) колебаний уменьшается средняя скорость движения и средняя сила сопротивления, от которой зависит быстрота затухания. Определив из наблюдений закон затухания, т. е. закон, согласно которому амплитуда колебаний убывает со временем, можно при помощи вычислений узнать, по какому закону меняется сопротивление с изменением скорости. Этим способом впервые начал изучать законы сопротивления воздуха движению тел Ньютон, который пришел к выводу, что сопротивление пропорционально квадрату скорости [см. формулу (8)].

дении зазора 2г = 1 мм (рис. 8.28, б) амплитуда вынужденных колебаний уменьшается, особенно существенно на режимах, близких к резонансному. При дальнейшем увеличении зазора до величины 2г = 2 мм резонансные явления фактически полностью исчезли. Это показано на рис. 8.29, на котором приведен ряд осциллограмм, снятых при последовательном увеличении амплитуд возбуждения и величин

Как показало моделирование, ширина и расположение областей захватывания существенно зависят от значений и и у. При одном и том же значении у )> 0 с увеличением величины и правая граница зоны захватывания сдвигается влево, максимальная амплитуда колебаний уменьшается. При у < 0 с увеличением скорости и левая граница зоны захватывания сдвигается вправо и соответствующая амплитуда уменьшается. При и=const и у < О с увеличением модуля у увеличивается амплитуда колебаний; при определенном значении у наблюдается неограниченный рост перемещения х.

Следовательно, интенсивность колебаний уменьшается с увеличением момента инерции резца и возрастает с увеличением силы удара и особенно резко с увеличением вылета резца. Этот вывод прекрасно подтверждается практикой. Жесткий резец, т. е. с возможно большим поперечным сечением, с коротким вылетом и прочно закрепленный в резцедержателе, работает спокойнее и производительнее.

В предыдущих главах, посвященных изложению основных теоретических положений динамики стержней, были даны методы вывода уравнений движения пространственно-криволинейных стержней, нагруженных переменными во времени распределенными и сосредоточенными силами. Наряду с «мертвыми» силами рассматривались и другие возможные силы, которые могут зависеть от линейных и угловых перемещений и их первых производных по независимым аргументам. Были получены уравнения малых колебаний и изложены численные точные и приближенные методы определения частот и форм колебаний пространственно-криволинейных стержней.

Как правило, полученные общие уравнения движения стержней, включая и уравнения малых колебаний, являются довольно сложными, в то время как решение прикладных задач приводит к уравнениям, которые являются частными случаями общих уравнений. Поэтому целесообразно более подробно рассмотреть эти частные случаи динамики стержней с решением конкретных задач из разных областей техники.

§ 7.1. Уравнения малых колебаний

Уравнения в связанных осях. Уравнения малых колебаний стержней прямолинейных в естественном состоянии с переменным сечением можно получить как частный случай

Первое уравнение (5.75) является уравнением Бернулли (5.7) для продольных колебаний, которые оказываются не связанными с другими видами колебательного движения. Три других уравнения (5.75) описывают совместные изгибно-крутильные колебания стержня. Как видно из уравнений, связность изгибных и крутильных колебаний зависит от моментов функции кручения /от и /яр — геометрических характеристик поперечного сечения.

Уравнения (5.75) распадаются на четыре независимых уравнения только для сечений, у которых центр тяжести совпадает с центром жесткости (/от = /гф = 0) • Это имеет место для сечений, обладающих двумя плоскостями зеркальной симметрии, например, для прямоугольного, эллиптического, двутаврового, или обладающих поворотной симметрией, например, для зетового сечения.. Для них второе и третье уравнения (5.75) являются уравнениями Рэлея (5.24) изгибных колебаний, а четвертое уравнение — уравнением крутильных колебаний Власова. Если сечение стержня имеет одну плоскость зеркальной симметрии, то один из моментов, /от или IIV, равен нулю и изгибные колебания в этой плоскости независимы от двух других типов колебаний.

Отметим, что общий порядок уравнений (5.75) по координате х равен 12. Они, следовательно, описывают шесть типов изгибно-«рутильных волн в стержне произвольного сечения. Исследование этих волн сопряжено с гораздо большими вычислительными трудностями, чем исследование «развязанных» изгибных и крутильных колебаний, проведенное выше, С этим, однако, приходится мириться, так как уравнения (5.75) являются простейшими среди уравнений, описывающих связанные изгибно-крутильные колебания. С другими теориями этих колебаний можно ознакомиться в работах [5, 140, 226, 340, 348, 358, 370].

Уравнения вынужденных колебаний планетарного механизма составлены методом динамических податливостей [2]. Выделенными подсистемами являются твердые тела: солнечная шестерня, сателлиты, водило и эпицикл, условно отрезанные от внутренних упругих связей (пружин) Ck. Согласно методу динамических податливостей, в местах разрезов к телам приложены гармонические силы Xjc и в соответствующих местах — возмущающие силы F-K. Уравнения для связанной системы получены из условия непрерывности деформаций в связях, жесткости которых представлены в комплексной форме, т. е. €% -f- ixjjco, где i = У — 1.

Результаты исследования свободных колебаний уравнения Матъе на аналоговой вычислительной машине. Исследование уравнения Матье проводилось на аналоговой вычислительной машине «Ана-лак». Величины постоянных коэффициентов, входящих в уравнение, выставлялись с помощью цифрового вольтметра с точностью до пятого знака. Результаты исследования регистрировались

Диференциальные уравнения колебаний фундамента при этом могут быть написаны в виде:

Уравнения (3) связаны между собой, так как в каждое из них входит х и у. Уравнение (2) совершенно не зависит от уравнений (3). Следовательно, вертикальные колебания фундамента не будут зависеть от колебаний относительно двух других осей координат. Поэтому, если на фундамент действуют возмущающие нагрузки, не имеющие вертикальной составляющей (Рг == 0), вертикальные колебания фундамента не возникнут. В этом случае фундамент будет испытывать лишь поворот около оси у и перемещение в направлении оси х.