Линейчатой поверхностью

костью зубьев винтовых, колес является линейчатая поверхность развертывающегося геликоида.

ностью зубьев винтовых колес является линейчатая поверхность развертывающегося геликоида.

ГИПЕРБОЛОИДЫ (от греч. hyperbole — гипербола и eidos — вид) однополостные и двуполостные — поверхности 2-го порядка. В частности, Г. вращения могут быть получены при вращении гиперболы вокруг её осей симметрии. Однополостный Г. — линейчатая поверхность: через каждую его точку проходят 2 прямолинейные образующие (из однополостных Г. состоит радиомачта системы В. Г. Шухова, находящаяся в Москве на Шаболовке). Ур-ние однополостного Г.:

где & — yiwt между ©бравугещими цилиндров, врохедящими через точку Р, piaBHibift углу ежрещрмаетшг между оеячети цилиндров. Навернем плоегоэеть Т последовательно на цилиндры А и 5. Тогда ирздиая ab> nai поверхности вдлиядра'^оштджт винтовую линию с угл0ш скручивая»» Ьг, а на- поверхности цилиндра в — винтовую» ли ни®'с углювд скручивания 8^. Эти винтовые лини» будут соиржасаньют к точке Р*, а горямая <а$ будет их общей касательной. Если на пштаскожти Т" возьмем: ряд равдают.етающи<х пар-аэдле'льных ярятаыи, то1 жж ©яи пр.» жавйрач-ивании гштоекоети У и» цилиндры отгаут на ШЕЯ р'яд винтовых лииий. На ююекости Т № теаде Р восставим перпендикуляры к обрдаующим oftowx идалнвдр'ов. Отрезки этиог иерте»дакуляр«да между смежными линиями afo и ей обошдаида через Pk и Р/. И а шгоекост» 7 через' точку Р проведем параллельно осям цилиндров линии РтиРп, причем Рт a P'n явш<ятате» отрезками этих лиииш от точки Р до- смежной линяги ей. Ливия Ph ироЕвеяе»а н^ртгендякулярно1 к ed. Заставим' теперь цилиндры вращаться, а лглее-кость Т — скользить так, чтобвг рпряада» cd, лежащая на ней, заняла положение ab в тот самый момент, коада винтовые линии, образованные прямой cd, соприкоснутся в точке Р. В>точке Р могут встретиться-только те точки начальных щилнвдров, которые лежат ff плоскостях вращен-ия, проходящих через точку Р, т. е. точка цилиндра А, соответствующая точ-ке k на плоскости Т, и точка цилиндра В, соответствующая точке /. Так как плоскость Т при обертывании его цилиндров не скользит по ним, то ясно, что к моменту совпадения cd с ab цилиндр А повернулся на дугу, длина которой р-авка- длине отрезка Pk на плоскости Т. Цилиндр В поверн-улся на дугу, длина которой равна длине отрезка Р1 на плоскости Т. Указанное движение двух цилиндров А и В можно осуществить в действительности, если сделать на этих цилиндрах винтовые ребра или зубья,, у которых боковые поверхности очерчены по ет-нтовым линиям. Боковой поверхностью зубьев винтовых колее является линейчатая поверхность развертывающегося геликоида.

54. Непрерывное движение. Геометрическое место мгновенных винтовых осей в теле есть некоторая линейчатая поверхность 2, уравнение которой может быть получено путем исключения / из уравнений (D) этих осей в подвижной системе координат. Геометрическое место тех же осей в абсолютном пространстве, т. е. относительно неподвижной системы координат, представляет собой другую линейчатую поверхность, уравнение которой получается из. уравнений (DJ. В произвольный момент времени обе эти поверхности имеют общую обрааующую, которая является мгновенной винтовой осью для этого момента. Более того, они касаются друг друга вдоль этой образующей. В самом деле, вообразим некоторую точку М, описывающую на неподвижной поверхности Zt произвольную кривую таким образом, что в каждый момент времени t она находится на мгновенной оси, являющейся для этого момента общей образующей. Эта же точка описывает относительно движущегося тела некоторую кривую, расположенную на связанной с телом подвижной поверхности Е. В момент t абсолютная скорость V'„ этой точки М касается в М поверхности Ег, а ее относительная скорость Vr относительно тела касается в М поверхности ?. Наконец, переносная скорость Ve, возникающая вследствие движения тела, направлена вдоль общей образующей МО, так как все точки тела, принадлежащие этой образующей, являющейся мгновенной винтовой осью, только скользят вдоль нее. Так как вектор Va есть геометрическая сумма векторов Vr и Ve, то все эти три вектора лежат в одной плоскости. Плоскость Va и Ve, т. е. плоскость Va и МО, касается поверхности 2t; плоскость Vr и Ve, т. е. плоскость Уг и МО, касается поверхности И. Так как обе эти плоскости совпадают, то поверхности ? и, Е! касаются друг друга в точке М. Но эта точка взята на образующей произвольно. Следовательно, поверхности ? и St касаются вдоль всей образующей.

Линейчатая поверхность, связанная с телом, движется по неподвижной линейчатой поверхности, которой она касается вдоль образующей и по которой она катится, скользя вдоль $;пой образующей.

2*. Четыре прямых. Допустим, что по четырем прямым D,, D% D3, D4 направлены четыре силы, находящиеся в равновесии. Любая ось Д, пересекающая три из этих прямых, должна пересекать и четвертую. Следовательно, если мы остановимся на общем случае, когда никакая пара прямых не лежит в одной плоскости, то линейчатая поверхность второго порядка (гипербо-.лоид или параболоид), представляющая собою геометрическое место осей Д, пересекающих одновременно три прямых, должна содержать и четвертую, как образующую той же системы, что и три первых. Мы получаем, таким образом, необходимое условие, указанное Мёбиусом: необходимо, чтобы Dlt Dg, D3, Di были четырьмя образующими (одной и той же системы) поверхности второго порядка. Для того чтобы показать, что это условие является достаточным, мы воспользуемся следующим доказательством, Данным Дарбу (статья в первом томе Механики Депейру).

Винт R пересекает под прямым углом ось единичного винта ?12, пересекающую под прямым углом оси винтов /?х и #2. Придавая числам а и b разнообразные значения, заставим ось винта описывать некоторое геометрическое место. Из формулы (3.45) следует, что при пропорциональном изменении чисел а и b как направление, так и положение оси не меняются. Поэтому существенным будет изменение одного параметра — отношения alb. Каждому значению этого параметра будет соответствовать одно направление и одна точка пересечения оси R с осью Е12- Отсюда следует, что при всех возможных изменениях чисел а и b геометрическим местом, описываемым осью винта /?, будет линейчатая поверхность, все образующие которой пересекают под прямым ,углом ось кратчайшего расстояния между осями винтов R1 и /?2. Эта поверхность называется цилиндроидом. Определим некоторые ее свойства.

§ 2. ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Линейчатая поверхность образуется движением прямой линии — образующей поверхности. При движении точки по сферической кривой образуется поверхность, описываемая радиусом-вектором точки из центра сферы. Но эта поверхность коническая, и для характеристики кривой достаточно проследить только за угловыми перемещениями естественного трехгранника. При движении же по линейчатой поверхности единичный винт образующей совершает пространственное движение, и для характеристики движения единичного винта и связанного с ним трехгранника

должны быть известны. Эти функции представляют внутренние характеристики линейной поверхности, не содержащие координат. Задание этих функций определяет линейчатую поверхность с точностью до положения в пространстве. Так как величина Q — комплексная, а 5 содержит параметр распределения, то линейчатая поверхность определяется всего тремя вещественными величинами. Как видно из изложенного, существует полное соответствие между геометриями кривой, лежащей на сфере-единичного радиуса, и линейчатой поверхности. Это соответствие вытекает из принципа перенесения, согласно которому при переходе к линейчатой поверхности точка кривой должна быть заменена прямой 148

где RI (i = 1, 2) — радиусы кривизны срединной поверхности, называется оболочкой вращения нулевой гауссовой кривизны; срединная поверхность такой оболочки является линейчатой поверхностью вращения. К этому классу оболочек вращения относятся цилиндрические, конические и другие, им подобные.

в пространственной прямоугольной декартовой системе координат OywM изображается поверхностью, сечения которой плоскостями cp=const представляют параболы Mm~k (ср) шг/2, 0 ^ со ^ и>шах, восходящие при k (ср) > 0, нисходящие при k (ср) < 0 и вырождающиеся в прямые при k (
В пространственной системе декартовых прямоугольных координат OttoM приведенный момент сил сопротивления М°Р (t, ш) изобразится в виде некоторой поверхности. Так как в любой момент времени t в сечении этой поверхности плоскостью, перпендикулярной оси Ot, получается прямая с угловым коэффициентом k (t) и свободным членом М" (t)=y (t) Ма (t), то характеристика сил производственных сопротивлений относительно ведущего вала вариатора будет линейчатой поверхностью.

М ^ = а0со2 -{- Ь0ш -\- с с линейчатой поверхностью Д/"р = /2г/ -J- со -\--\- уМ к и состоит из двух однозначных ветвей

В несколько иной постановке подобная задача решалась в работах Ван Дань Чжи [6] и Е. А. Девянина и А. П. Демьянов-ского [9]. Существенным здесь является общий подход к решению задачи с помощью винтового метода, позволяющий дать кинематическую интерпретацию движения аксоидом, т. е. линейчатой поверхностью, прямолинейные образующие которой суть оси мгновенных кинематических винтов, кроме того, прямолинейные образующие линейчатой поверхности являются осями винтов конечных перемещений, переводящих тело из начального положения в любое из промежуточных.

Известно, что со сфероцентроидами связаны линейчатые поверхности — подвижный и неподвижный конические аксоиды с вершинами в центре сферы. Подобно этому введем связанные с подвижной и неподвижной сфероцентралами конические поверхности — подвижный и неподвижный конические аксалы с вершиной в центре сферы. Конический аксал, следовательно, есть поверхность конуса, образующие которой суть радиусы-векторы точек Сфероцентралы, проведенные из центра сферы. Иначе говоря, неподвижный конический аксал положения At — это геометрическое место (Р^) осей вращения 3 в неподвижном пространстве всех возможных конечных поворотов тела, в сферическом движении, переводящих его из начального положения At в любое последующее положение Af, At», At», ... В положении At тела с неподвижной линейчатой поверхностью ф,) совпадает линейчатая поверхность (щ) движущегося тела Л с вершиной в той же неподвижной точке. Эта поверхность (щ) является геометрическим местом осей

винтовых осей положения At. Он представляет собой неподвижную линейчатую поверхность (В,). В положении Л,, тела, соответствующем моменту t, с неподвижной линейчатой поверхностью (Bt) совпадает линейчатая поверхность (А^) движущегося тела А. Эту последнюю, образованную конечным перемещением винтовой оси в движущемся теле А, мы назовем подвижным аксалом винтовых осей (А<) (полужирным шрифтом обозначены единичные винты образующих).

Теорема 1в. В положении At тела А подвижная линейчатая поверхность (А,.) — подвижный аксал винтовых осей — имеет с соответствующей неподвижной линейчатой поверхностью (Вг) — неподвижным аксалом винтовых осей — в качестве общей образующей прямую В неподвижного аксала (В;) положения тела At; при этом комплексный угол Ф между центральными касательными поверхностей (А,) и (Вл) при общей образующей В равен комплексному углу, на который необходимо переместить тело А, чтобы перевести его из начального положения At в последующее Аг.

Плоскостью резания называется плоскость, касательная к поверхности резания и проходящая через прямолинейную режущую кромку. У резцов с криволинейной режущей кромкой плоскость резания заменяется линейчатой поверхностью, образованной движением вдоль режущей кромки прямой линии, касательной к поверхности

Задача о разложении вектора (силы) по шести заданным направлениям может быть решена способом моментов. Для этого за оси моментов принимают линии, пересекающие четыре заданных направления. В этом случае в уравнения равновесия будут входить лишь два усилия, направления которых не пересекаются с выбранной осью моментов. Проводя вторую ось моментов, пересекающую следующие четыре направления, будем иметь второе уравнение с двумя неизвестными. Чтобы провести ось, пересекающую четыре заданных прямых, целесообразно воспользоваться линейчатой поверхностью гиперболоида. Выше было указано, что любая ось, движущаяся по трем заданным прямым, не параллельным одной и той же плоскости, образует гиперболоид. Четвертая прямая из 6 заданных будет пересекать поверхность гиперболоида в двух точках. Очевидно будет и вторая образующая, которая пересечет остальные три прямые. Четвертая прямая в этой системе также пересечет гиперболоид в двух точках. Равенство моментов относительно указанных двух осей дает два линейных уравнения для определения усилий по двум остальным направлениям. Однако решение поставленной задачи этим способом в общем случае довольно сложное,

Инициатором применения такой турбины в СССР, И. В. Котеневым была разработана в ВИГМ в 1932 г. очень простая ее конструкция для равнинных напоров до 6 -*• 8 м при мощностях до 100 кет и диаметрах 50 -4-150 см [Л. 75]. По его предложению лопасти с линейчатой поверхностью изгибаются из листового железа толщиной 3-5 мм молотком на оправке из соответ-ветствевно обтесанного бревна. Они укрепляются между двумя-тремя деревянными дисками, посаженными на вал