Линейчатую поверхность

Линейчатая поверхность, связанная с телом, движется по неподвижной линейчатой поверхности, которой она касается вдоль образующей и по которой она катится, скользя вдоль $;пой образующей.

двигательного режима. Ее аппликата в каждой точке полосы (8.10) представляет собой 'разность соответствующих аппликат параболического цилиндра (8.3) и линейчатой поверхности (8.8).

В VI главе дана дифференциальная геометрия линейчатой поверхности. Ее изложение не является самоцелью, а служит введением в кинематику твердого тела, которая относится к мгновенным и непрерывным движениям. Здесь отчетливо выявляется принцип перенесения, сказывающийся в полной аналогии между формулами дифференциальной геометрии кривой на сфере единичного радиуса и формулами дифференциальной геометрии линейчатой поверхности, если перейти от вещественных величин к комплексным.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНЕЙЧАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Геометрия линейчатой поверхности представляет интерес как объект применения принципа перенесения и излагается как комплексное обобщение геометрии кривой на сфере единичного радиуса. Вместе с тем, она является введением в кинематику твердого тела, движущегося непрерывно, и ее соотношения также относятся к этой кинематике, как дифференциальная геометрия кривой — к кинематике движущейся точки. Поэтому необходимо предварительно рассмотреть дифференциальную геометрию кривой на сфере единичного радиуса.

Линейчатая поверхность образуется движением прямой линии — образующей поверхности. При движении точки по сферической кривой образуется поверхность, описываемая радиусом-вектором точки из центра сферы. Но эта поверхность коническая, и для характеристики кривой достаточно проследить только за угловыми перемещениями естественного трехгранника. При движении же по линейчатой поверхности единичный винт образующей совершает пространственное движение, и для характеристики движения единичного винта и связанного с ним трехгранника

необходимо знать как вращательные, так и поступательные перемещения, т. е. вообще говоря, винтовые перемещения. Тем не менее, в описании линейчатой поверхности достигается аналогия со сферической кривой при выражении винтовых перемещений с помощью комплексных величин.

Пусть прямая а будет образующей линейчатой поверхности, а единичный винт, лежащий на а, будет R. Пусть образующая изменяется вместе с некоторым вещественным параметром t; тогда R = R (t) (рис. 41).

Заметим, что при наличии полной аналогии со сферической кривой, здесь имеется некоторая «аномалия» в терминологии: единичному вектору t касательной к кривой соответствует единичный винт Т центральной нормали линейчатой поверхности, а единичному вектору k центральной нормали кривой соответствует единичный винт К центральной касательной к линейчатой поверхности.

По аналогии с бинормалью сферической кривой бинормаль линейчатой поверхности является «осью» первой кривизны поверхности, так как ее угол с образующей определяет эту кривизну.

Объединяя формулы (6.34), (6.38) и (6.39), получим систему комплексных формул Френе для линейчатой поверхности

Цилиндрические червяки бывают следующих видов (в скобках приводятся краткие стандартные термины): архимедов червяк (червяк ZA), теоретический торцовый профиль которого — архимедова спираль; конволютный червяк (червяк ZN), теоретический торцовый профиль которого — конволюта (удлиненная или укороченная эвольвента); э в о л ь -вентныи червяк (червяк Z/); теоретический торцовый профиль которого — эвольвента. Боковые поверхности витков этих трех видов червяков представляют собой линейчатую поверхность

Фиксируя значение одной из независимых переменных величин, например \/, в равенстве (7.1), получим вырождение конгруэнции в некоторую линейчатую поверхность ограниченных размеров

Цилиндрические червяки по ГОСТ 18498 — 73 могут иметь три различные формы рабочей поверхности витков. Архимедов червяк имеет трапецеидальный профиль в осевом сечении и торцовый профиль в форме архимедовой спирали. Эвольвентный червяк также имеет линейчатую поверхность витка в осевом сечении, но торцовый профиль является эвольвентой окружности. Конволютный червяк в отличие от эвольвентного червяка имеет торцовый профиль в форме удлиненной или укороченной эвольвенты.

Располагая на касательной плоскости пп (рис. 6.25, б) прямую ии под углом Ро к образующей цилиндра при обкатке, получим линейчатую винтовую эвольвентную поверхность, представляющую собой боковую поверхность ~" косого зуба. Эта поверхность называется развертывающимся геликоидом. Боковая поверхность эвольвентного зуба с винтовой начальной линией показана на рис. 6.25, б. Как видно, она представляет собой линейчатую поверхность с образующими, касающимися основного цилиндра. Начальные точки эвольвентной поверхности зубьев располагаются по вин-

Боковую поверхность косого зуба эвольвентного колеса можно представить так же, как линейчатую поверхность, описываемую

Боковую поверхность косого зуба эвольвентного колеса можно представить также как линейчатую поверхность, описываемую прямой mm, лежащей в плоскости Q, под углом РЬ к образующей основного цилиндра, по которому эта плоскость катится без скольжения (рис. 151).

Фиксируя значение одной из независимых переменных, например переменной гз в равенстве (30.1), получим вырождение конгруэнции в некоторую линейчатую поверхность ограниченных размеров:

54. Непрерывное движение. Геометрическое место мгновенных винтовых осей в теле есть некоторая линейчатая поверхность 2, уравнение которой может быть получено путем исключения / из уравнений (D) этих осей в подвижной системе координат. Геометрическое место тех же осей в абсолютном пространстве, т. е. относительно неподвижной системы координат, представляет собой другую линейчатую поверхность, уравнение которой получается из. уравнений (DJ. В произвольный момент времени обе эти поверхности имеют общую обрааующую, которая является мгновенной винтовой осью для этого момента. Более того, они касаются друг друга вдоль этой образующей. В самом деле, вообразим некоторую точку М, описывающую на неподвижной поверхности Zt произвольную кривую таким образом, что в каждый момент времени t она находится на мгновенной оси, являющейся для этого момента общей образующей. Эта же точка описывает относительно движущегося тела некоторую кривую, расположенную на связанной с телом подвижной поверхности Е. В момент t абсолютная скорость V'„ этой точки М касается в М поверхности Ег, а ее относительная скорость Vr относительно тела касается в М поверхности ?. Наконец, переносная скорость Ve, возникающая вследствие движения тела, направлена вдоль общей образующей МО, так как все точки тела, принадлежащие этой образующей, являющейся мгновенной винтовой осью, только скользят вдоль нее. Так как вектор Va есть геометрическая сумма векторов Vr и Ve, то все эти три вектора лежат в одной плоскости. Плоскость Va и Ve, т. е. плоскость Va и МО, касается поверхности 2t; плоскость Vr и Ve, т. е. плоскость Уг и МО, касается поверхности И. Так как обе эти плоскости совпадают, то поверхности ? и, Е! касаются друг друга в точке М. Но эта точка взята на образующей произвольно. Следовательно, поверхности ? и St касаются вдоль всей образующей.

движущейся поверхности S находится в соприкосновении с некоторой точкой AI неподвижной поверхности S\. Если в момент t скорость VQ точки А касания поверхности 5 с поверхностью 5j отлична от нуля, то эта скорость лежит в общей касательной плоскости обеих поверхностей. В самом деле, вообразим движущуюся точку, совпадающую в каждый момент с точкой соприкосновения обеих поверхностей. Абсолютная траектория Q этой движущейся точки лежит на поверхности S\ и ее абсолютная скорость V\ направлена по касательной к Q; относительная траектория С лежит на поверхности S и относительная скорость V касается С; переносная скорость, вызванная движением S, есть скорость V0 точки А поверхности S, находящейся в рассматриваемый момент в соприкосновении. Так как Vj есть результирующая векторов V и V0, то вектор VQ, если он отличен от нуля, так же как и векторы V\ и V, лежит в плоскости, касательной к обеим поверхностям в точке А. Скорости различных точек движущегося тела будут такими же, как если бы тело совершало поступательное движение со скоростью У0 и вращение Аи* вокруг некоторой оси, проходящей через точку А. Говорят, что поверхность 5 катится и вертится по поверхности Si, если в каждый момент времени t скорость точка А касания этих поверхностей равна нулю. В этом случае Vt равно нулю и скорости различных точек тела будут такими, как если бы оно совершало вращение Ао> вокруг оси, проходящей через А. Следовательно, мгновенная винтовая ось проходит через А и скольжение не происходит. Геометрическое место осей Аи> образует в теле S нек торую линейчатую поверхность S, а в абсолютном пространстве — некоторую линейчатую поверхность 2t. Движение тела получится, если заставить катиться поверхность 2 по поверхности ?t. Геометрическое место точек А на поверхности S есть кривая С пересечения поверхностей S и S; геометрическое место точек А± на поверхности St есть кривая Q пересечения поверхностей 2г и Sj. Эти две кривые С и Ci

Найти для этого тела мгновенную винтовую ось, неподвижную линейчатую поверхность 1д и подвижную линейчатую поверхность ?.

должны быть известны. Эти функции представляют внутренние характеристики линейной поверхности, не содержащие координат. Задание этих функций определяет линейчатую поверхность с точностью до положения в пространстве. Так как величина Q — комплексная, а 5 содержит параметр распределения, то линейчатая поверхность определяется всего тремя вещественными величинами. Как видно из изложенного, существует полное соответствие между геометриями кривой, лежащей на сфере-единичного радиуса, и линейчатой поверхности. Это соответствие вытекает из принципа перенесения, согласно которому при переходе к линейчатой поверхности точка кривой должна быть заменена прямой 148