Линейными деформациями

Можно установить геометрический смысл и компонентов еху, Syz, ?zx- Для этого необходимо определить изменение угла при деформации тела между двумя линейными элементами АВ и АС, пересекающимися в точке А под произвольным углом. Пусть направление г\ элемента АВ до деформации тела характеризуется направляющими косинусами /ь тг и ль а после деформации тела — направляющими косинусами 1\, т\кп\. Направление же Гц элемента АС до деформации — косинусами /2, т2 и п2, а после деформации — 4, пц, п'^. Угол ф между элементами АВ и АС до деформации определится из формулы аналитической геометрии

•О', •§", О'" — новые углы между линейными элементами, первоначально параллельными осям х и у, у и г, г и х. 16»

Таким образом, говоря о деформации тела, следует различать деформацию его в целом, которая главным образом характеризуется перемещениями и поворотами, и деформацию бесконечно малого объемного элемента, которая характеризуется изменением длин линейных элементов, входящих в его состав, и сдвигами ^изменением углов между этими линейными элементами).

При больших деформациях главные оси тензора Те являются •главными осями деформации, т. е. между линейными элементами, проходящими через рассматриваемую точку тела и совпадающими с этими осями, в процессе деформации тела сдвигов нет, а относительные линейные деформации вдоль этих направлений обладают свойством экстремальности; тензор Ts также обладает главными осями, но не совпадающими с главными осями тензора Те, и, таким образом, они не являются главными осями деформации, т. е. сдвиги между линейными элементами, проходящими через рассматриваемую точку тела и совпадающими с главными направлениями тензора Те> не равны нулю.

Во-первых, при осевой деформации призматического, в частности круглого цилиндрического, образца не происходит изменения первоначально прямых углов между линейными элементами, из которых один совпадает по направлению. с осью призмы, а второй лежит в поперечном сечении, т. е. в процессе осевой деформации образец, изготовленный из изотропного материала, не перекашивается (такой перекос в случае материала, обладающего, например, общим случаем анизотропии, имеет место). По сути дела, этот факт показывает в данном случае коаксиаль-ность тензоров напряжений и деформаций в изотропном материале, т.е. совпадение в изотропном материале направлений главных напряжений и главных деформаций.

Особые решения. Линейным элементом называется совокупность значений переменных •*• У' У1' причём с геометрической точки зрения переменные дг, у представляют координаты, а у'— тангенс угла наклона линейного элемента к оси Ох. Особыми линейными элементами уравнения / (х, у, у') = О называются такие, которые одновременно удовлетворяют условиям

изменение прямого угла между линейными элементами dx и dy, параллель-

&х, е.у и ег — относительные удлинения (или укорочения) линейных элементов, параллельных до деформации осям х, у и г; yxv, ууг и YZ* — относительные сдвиги (угловые деформации), соответственно, в плоскостях ху, yz, zx. Так, величина yxv представляет собой изменение прямого угла между линейными элементами dx и dy, параллельными до деформации осям х и у, происшедшее в результате деформации (фиг. 13); если Yry>0, это означает, что угол между

характеризуют изменения первоначально прямых углов между линейными элементами dx, dy, dz, т.е. пропорциональны сдвигам (см. [35]).

Ареальную плотность линейных элементов, полностью расположенных в некоторой плоскости, параллельной плоскости сечения, находят по формуле LA=(3t/2)PL (12), где PL-ЧИСЛО точек пересечения единицы длины случайной секущей с линейными элементами.

Обозначив происходящее в процессе деформирования уменьшение углов между рассматриваемыми линейными элементами 'через cpi2, получаем .

С использованием круговой диаграммы деформации Мора устанавливают связь между угловыми и линейными деформациями:

Искажение прямых углов элементов деформированного тела под действием растягивающих усилий происходит за счет удлинений и укорочений элементов во взаимно перпендикулярных направлениях. Рассматривая связь между относительным сдвигом элементов тела и их линейными деформациями при растяжении, можно выразить модуль сдвига через модуль упругости Е:

Деформированное состояние в точке К тела (рис. 8) полностью определяется шестью величинами: тремя линейными деформациями ех, йу, ег и тремя, угловыми уху, \уг> Тгх-

В рассматриваемом случае (при растяжении бруса) поперечную деформацию считают отрицательной, так как размеры поперечного сечения бруса уменьшаются. Продольную е и поперечную ех деформации называют также линейными деформациями.

Деформированное состояние в точке К тела (рис. 8) полностью определяется шестью величинами: тремя линейными деформациями ех, еу, Ёг и тремя угловыми уху, ууг, угх-

Установим связь между нормальными напряжениями и линейными деформациями в направлениях этих напряжений, справедливые для любого напряженного состояния. Рассмотрим бесконечно малый элемент, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, на гранях которого возникают напряжения растяжения ст„ ст,, crz.

Линейная зависимость между напряжениями и относительными линейными деформациями. в начальный период нагружения образца (стержня), обнаруживаемая у многих материалов, известна под названием закона Гука г):

При разгрузке зависимость между напряжениями и относительными линейными деформациями изобразится на диаграмме 3.19, е следующими линиями: для первого стержня линией СгО и для третьего — параллельной ей линией, начинающейся в точке С3.

Итак, деформация тела в некоторой его точке характеризуется компонентами ех, еу, ег, еху, eyz, ezx, из коих первые три связаны с относительными линейными деформациями вдоль трех взаимно ортогональных направлений, параллельных осям х, у и z, а три .последних связаны с изменениями углов, т. е. со сдвигами между этими направлениями.

В условиях малой деформации компоненты ех, еи и ег отождествляются с соответствующими относительными линейными деформациями, а компоненты еху, еуг и егх — с соответствующими сдвигами.

которые в этом случае не являются относительными линейными деформациями.