Линейными зависимостями

т. е. изгибающий момент на двух участках балки определяется двумя линейными уравнениями, и, следовательно, эпюра изгибающих моментов состоит из двух отрезков прямой (рис. 1 12, б). Величина изгибающих моментов в характерных точках

линейными уравнениями. Границы этой области зависят от отброшенных нами членов высшего порядка в разложениях функций Т, V и Q*. В частных случаях может оказаться, что эта область весьма велика, например, заведомо охватывает все возможные движения системы.

Непосредственно не ясно, каким образом асимптотическая устойчивость, определяемая линейными уравнениями (15), связана с асимптотической устойчиво-

исходными нелинейными уравнениями (10). Наличие этой свя- °

Область, в которой можно пользоваться линейными уравнениями, сама по себе, разумеется, не определяется этими уравнениями и зависит от старших членов соответствующих разложений нелинейных функций в ряды. В этом смысле понятия «малые отклонения» и «малые колебания» условны. Слово «малое» в этих терминах говорит не буквально о малости самих отклонений или их областей, а скорее о малости наших знаний о границах этих областей. Во многих задачах механики оказывается, что области эти достаточно велики и покрывают полностью область отклонений, с которыми практически приходится иметь дело при любых действующих на систему внешних силах. В иных случаях, однако, оказывается, что области эти весьма ограничены, и замена нелинейных уравнений Лагранжа их линейным приближением требует в таких случаях большой осмотрительности.

на рис. 3.1,а пунктирными линиями, которое мало отличается от исходного. Следует отметить, что предположение о том, что состояния равновесия неустойчивое и устойчивое при Р* близки друг к другу, позволяет описать состояние равновесия стержня после потери устойчивости линейными уравнениями. Если получающиеся из линейных уравнений критические нагрузки действительны, то можно считать, что принятое предположение о близости возможных форм равновесия является обоснованным. Если критические нагрузки из линейных уравнений определить нельзя или они получаются мнимыми, то это говорит о том, что или указанное предположение неверно, или смежного состояния равновесия вообще нет. В этих случаях надо рассматривать или нелинейные уравнения, считая, что перемещения точек осевой линии стержня и повороты сечений стержня после потери устойчивости являются конечными, т. е. рассматривать неустойчивость «в большом», или исследовать устойчивость движения стержня вблизи исходного состояния равновесия.

Частотные характеристики механизма. Во многих механиз* мах внешние силы, действующие на звенья механизма, являются периодическими функциями времени, которые посредством разложения в ряды Фурье могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот. Для исследования динамики механизмов с линейными уравнениями движения при этих воздействиях (силах) предлагались различные виды характеристик, которые устанавливают соотношения между функцией

Изучение смачивания твердых молибдена и ниобия жидким алюминием показало, что зависимость краевого угла смачивания в исследуемом интервале температур хорошо описывается линейными уравнениями:

т. е. точки верхнего основания, лежащие на наружной -поверхности, окажутся на оси — верхнее основание цилиндра стянется в вершину конуса. Чем менее жесток материал цилиндра и чем больше его объемный вес, а также коэффициент Пуассона, тем меньшей оказывается длина Lnp, т. е. тем большим- оказывается угол при вершине конуса. Следует, однако, заметить, что при таких больших перемещениях нельзя пользоваться линейными уравнениями (9.3), справедливыми лишь для малых перемещений. Если же воспользоваться для решения этой же задачи нелинейными уравнениями, то результат получится иным, соответствующая ему форма, которую приобретает цилиндр в результате деформации, окажется значительно более сложной, чем конус с вершиной. 3. Найденные выше функции и, v и w полностью характеризуют форму деформированного цилиндра, но не позволяют судить о положении его в пространстве. Для охарактеризования этого положения нужно иметь данные о действительном закреплении цилиндра в пространстве. Если цилиндр закреплен так, что точки, лежащие на наружной окружности верхнего основания, не имеют вертикального перемещения (в плоскости основания они перемещаются, оставаясь на окружности и приближаясь к оси, т. е. располагаются на окружности меньшего радиуса, чем первоначальная), то весь цилиндр, сохранив форму, расссмот-ренную выше, опустится так, что центр нижнего основания получит вертикальное перемещение

зависящую от г, что свидетельствует о том, что изогнутая ось не есть окружность. Однако при больших прогибах нельзя пользоваться линейными уравнениями Коши и необходимо прибегать

В дальнейшем примем, что все внешние нагрузки изменяются пропорционально параметру Р. Поскольку докритическое напряженно-деформированное состояние описывается линейными уравнениями, можно записать

носителей) величины р_ и р+ и общее удельное электросопротивление металла р связаны с температурой линейными зависимостями:

с Т линейными зависимостями, а температурная зависимость р описывается уравнением гиперболы

7. Картина деформации в окрестности точки и общая картина деформации тела. Картина деформации окрестности точки тела в соответствии с линейными зависимостями (6.47), связывающими проекции линейного элемента до и после деформации, характеризуется тем, что прямолинейный бесконечно малый элемент в процессе деформации занимает новое положение, но остается прямолинейным, бесконечно малая плоская площадка занимает новое положение, но остается плоской. Если два таких линейных элемента до деформации были параллельными, то параллельными они остаются и после деформации; параллельные до деформации грани объемного бесконечно малого элемента остаются параллельными и после деформации1). Разумеется, все это справедливо лишь в случае рассмотрения бесконечно малой области в окрестности, точки, так как иначе зависимости (6.47) перестают иметь силу. Вследствие сказанного бесконечно малый параллелепипед при деформации превращается, вообще говоря, в иной, но все же параллелепипед, элемент в виде бесконечно малого шара в резуль-

Компоненты деформаций можно выразить через перемещения точек тела и, v, w (рис. 2.1). Билинейной теории упругости компоненты деформаций связаны с производными от перемещений линейными зависимостями

Согласно второму допущению в начальном состоянии удлинения и углы сдвига в срединной плоскости связаны с производными перемещений иб и и0 линейными зависимостями (рис. 4.2, а)

Осевое удлинение вх и изменение кривизны х, определяются обычными линейными зависимостями

Таким образом, в окрестности текущего значения ф.,. указанные функции отображены линейными зависимостями от q. He следует смешивать этот прием с такой линеаризацией функции положения, когда нелинейная функция на выделенном участке заменяется линейной. В данном случае коэффициенты правой части равенств (5.3) сохранили вид нелинейной зависимости от ф.,. и лишь малая деформация q входит в эти выражения линейно. Дан-- ные инженерной практики свидетельствуют о том, что даже на весьма напряженных динамических режимах q не превышает (0,02 — 0,06) рад. При этом в диапазоне параметров, имеющем практический смысл, значения остаточных членов в рядах (5.3) в зоне экстремумов обычно не превышают (1 — 3)% , что не оправдывает дальнейших уточнений. В этом смысле исключением является

Тогда нелинейные зависимости (9.2) могут быть приближенно заменены следующими линейными зависимостями:

Соотношение погрешностей для различных типов тензо-резисторов может быть различным, в связи с чем выбор метода должен определяться изучением их характеристик и оценкой самих погрешностей. Если тензорезисторы имеют неустойчивые характеристики влияния давления, то погрешности могут значительно превышать величины, отмеченные на рис. 27 и 28. Поэтому для испытания объектов должны использоваться только тензорезисторы, обладающие стабильными линейными зависимостями сопротивления от давления.

В случае измерения тепла потока газового теплоносителя функции f(p) и f(t) [(3-1 а) и (3-16)] можно аппроксимировать линейными зависимостями, и уравнение (3-1) примет вид:

3) граничные условия модели и исследуемого объекта должны быть подобны, т. е. все величины, входящие в граничные условия модели, должны быть связаны с соответствующими величинами в граничных условиях исследуемого объекта линейными зависимостями (подобие граничных условий).