Линейного осциллятора

Отметим некоторые свойства линейного напряженного состояния, вытекающие из зависимостей (9.12) — (9.15).

Указанный подход к оценке прочности является вполне обоснованным, так как при растяжении и сжатии бруса имеет место однородное линейное напряженное состояние, а при прямом поперечном изгибе наиболее нагруженные точки также находятся, как правило, в условиях линейного напряженного состояния.

Равенства являются выражением закона Гука при наиболее общем для изотропного тела случае — при объемном напряженном состоянии и объемной деформации. Исключая из (13.3) значение <т3, получаем закон Гука для плоского напряженного состояния, а исключая ст2 и а3 - для линейного напряженного состояния.

Для анизотропного композиционного материала в отличие от изотропного, предельное состояние зависит от ориентации поля напряжений по отношению к структурным направлениям анизотропии материала. Так, например, в случае линейного напряженного состояния изотропного материала, предельное состояние зависит от ориентации действующего напряжения и определяется пределом прочности при растяжении (сжатии). Для анизотропного материала следует учитывать ориентацию напряженного состояния по отношению к структурным направлениям (направлению армирующих волокон) среды (рис. 2.1).

Методика определения данных характеристик стандартная, а испытания проводят в условиях линейного напряженного состояния.

находим: для линейного напряженного состояния (ст22 = аэз = 0)

В случае линейного напряженного состояния разность фаз

(рис. 5.18, г). На рис. 5.18, г показано действительное направление касательного напряжения. Окружность напряжений в случае линейного напряженного состояния имеет вид, показанный на рис. 5.18, д и 5.18, е.

На рис. 5.37, 5.38 и 5.39 изображены поверхности нормальных составляющих напряжений J) соответственно для случаев: линейного напряженного состояния (ст1>0, <т2 = а3 = 0), плоского напряженного состояния (0^0, 02=^=0, ст3 = 0 —рис. 5.38, а и CTI^O, а2 = 0, а3 =т^0 —рис. 5.38,6) и пространственного напряженного состояния (01 ^ 02 5= о"з 5г О или ст3 sg; 0.2 s? CTJ <с 0 — рис. 5.39, а и at SB 02 > 0, 03 < 0 или CTJL > 0, 03 sg 02 < 0 — рис. 5.39, б).

I. Зависимость сопротивляемости материала возникновению предельного состояния в локальной области от напряженного состояния и от истории нагружения. До сих пор при рассмотрении сопротивляемости материала разрушению или возникновению текучести имелась в виду работа его в условиях линейного напряженного состояния, изучаемого в опытах с образцами, подвергнутыми растяжению или сжатию, напряженное состояние в которых однородно. Вместе с тем в конструкциях материалу приходится работать и в иных, гораздо более сложных условиях — напряженное состояние материала может быть не линейным, а плоским или даже пространственным.

3. Феноменологический и физический пути построения критериев. Описанный выше подход к построению критерия для оценки границы перехода материала в предельное состояние имеет чисто феноменологический характер, никак не связанный с дискретностью строения материи; поэтому и сами критерии имеют чисто феноменологический характер. В отличие от феноменологического, мыслим и физический подход к решению проблемы. Однако даже в случае линейного напряженного состояния или чистого сдвига теоретически находить характеристики, определяющие переход материала в предельное состояние, удается лишь для монокристаллов идеальной структуры. В случае же наличия многообразных дефектов структуры монокристалла, а тем более в случае поликристаллического тела (металла), проблема до сих пор не разрешена надежно даже для отмеченных выше элементарных однородных напряженных состояний. В настоящее время предпринимаются многочисленные попытки в направлении построения физических теорий с использованием методов математической статистики и теории вероятностей, к сожалению, пока далекие от возможности непосредственного широкого их использования .в практических расчетах. Больше других удалось исследовать вопросы хрупкого разрушения, в том числе рассмотреть масштабный фактор и изменчивость прочности, а также явление усталости. Однако будущее принадлежит именно статистическим теориям, описывающим физику явления с единых позиций.

и мы получили известный закон движения линейного осциллятора. Случай 2. Этот случай имеет место тогда, когда гамильтониан (полная или обобщенная энергия) выражается последовательно «функцией от функции», где каждая функция зависит только от предыдущей функции и от «своих» переменных:

Уравнение вида (50.2) называется уравнением гармонических колебаний, а система, осуществляющая эти малые колебания, называется линейным, или гармоническим, осциллятором. Хорошо известным примером такой системы может служить тело на упругой пружине (рис. 142, в). По закону Гука, при растяжении или сжатии пружины возникает противодействующая сила, пропорциональная растяжению или сжатию, т. е. выражение для силы со стороны пружины имеет вид F==—Dx, и мы приходим к уравнению линейного осциллятора. Таким образом, тело, колеблющееся на пружине, является моделью линейного осциллятора.

Другим примером линейного осциллятора являются физический и математический маятники при достаточно малых углах отклонения, которые были рассмотрены в § 34. В качестве модели линейного осциллятора можно взять либо грузик на пружине (рис. 142, в), либо маятник.

Уравнение гармонических колебаний. Уравнение (50.2) движения линейного осциллятора удобно представить в таком виде:

Определение. Собственными называются колебания системы под действием лишь внутренних сил без внешних воздействий. Рассмотренные в предыдущем параграфе гармонические колебания являются собственными колебаниями линейного осциллятора. В принципе собственные колебания могут быть и негармоническими. Но при достаточно малых отклонениях от положения равновесия в очень многих практически важных случаях они, как это было разобрано выше, сводятся к гармоническим.

Начальные условия. Гармоническое колебание полностью характеризуется частотой, амплитудой и начальной фазой. Частота зависит от физических свойств системы. Например, в случае линейного осциллятора в виде материальной точки, колеблющейся под действием упругих сил пружины, свойства упругости пружины учитываются коэффициентом упругости D, а свойства точки — ее массой m; co = D/m.

мерном случае. Это обусловлено тем, что эта сила (ее направление) зависит от скорости (направления скорости). В случае линейного осциллятора удобно считать, что потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия (в начале координат). Тогда, учитывая, что F=— Dx, и принимая во внимание формулу (25.20), связывающую потенциальную энергию Е„ и силу, сразу находим для потенциальной энергии линейного осциллятора следующее выражение:

Поскольку закон движения для линейного осциллятора описывается формулой

Трение. Собственные колебания линейного осциллятора происходят в отсутствие внешних сил. Энергия его колебаний сохраняется, а следовательно, и амплитуда' колебаний не изменяется. Собственные колебания являются незатухающими.

При наличии трения, являющегося внешней силой, энергия колебаний линейного осциллятора уменьшается, а следовательно, уменьшается и амплитуда колебаний. Колебания при наличии трения становятся затухающими. Нетрудно видеть, что и частота колебаний должна изменяться. Сила трения действует против скорости. Следовательно, для линейного осциллятора ее действие эквивалентно уменьшению возвращающейся силы, т. е. упругости пружины (уменьшение величины ?>). Поскольку (i) = D/m, это означает, что частота колебаний должна уменьшаться, а период — увеличиваться.

Внешняя сила. Наряду с трением на линейный осциллятор может действовать какая-либо другая внешняя сила. Характер движения линейного осциллятора при этом изменится в зависимости от особенностей действующей силы.