Линейного приближения

1. Нормальное распределение (рис. 28) (часто называемое гауссов-ским) играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающееся на практике распределение. Даже в тех случаях, когда распределение заведомо не является нормальным (например, для механических характеристик материала, которые всегда положительны), им нередко пользуются для приближенной замены реальных законов распределения, так как усечения обычно невелики. Кроме этого, если случайная величина распределена нормально, то распределение остается нормальным и после линейного преобразования случайной величины (включая операции дифференцирования и интегрирования).

обе матрицы А я С будут положительно определенными, и это обстоятельство позволит упростить получение решений и их анализ. В линейной алгебре доказывается теорема о том, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определенной, могут быть одновременно приведены к сумме квадратов с помощью неособенного линейного преобразования

Погрешность линейного преобразования движения (5 —&-р определяется по формуле

Преобразования Лоренца можно получить также исходя из других требований, например из требования инвариантности уравнений Максвелла относительно линейного преобразования пространственных координат и времени.

которая называется матрицей линейного преобразования базиса перехода от базиса {е/0} к базису {е/}).

СИНТЕЗ РЕЧИ - искусств, восстановление сигналов путём преобразования принимаемой закодированной информации в звуковую, имитирующую человеч. речь, либо генерация акустич. сигналов, имитирующих человеч. речь. С.р. используется в системах многоканальной связи, читающих машинах для слепых, в системах управлении автоматич. устройствами, для осуществления связи «человек - ЭВМ» и др. СИНТЕЗАТОР ЧАСТОТ - устройство для получения гармонич. электрич. колебаний с требуемыми частотами путём линейного преобразования (напр., умножения, вычитания или сложения) пост, частот исходных колебаний, создаваемых высокостабильными опорными генераторами. Применяется в радиопередатчиках, работающих на одной или неск. выделенных для них фиксиров. частотах (волнах), радиоприёмниках, измерит, генераторах стандартных частот и т.д. См. также Преобразователь частоты.

Стандартный преобразователь ПТ-ТП-68, предназначенный для линейного преобразования ЭДС в унифицированный токовый сигнал 0-5 мА, содержит измерительный мост и усилитель постоянного тока. Входная и выходная цепи гальванически разделены, это достигается применением магнитных усилителей в прямом тракте и в цепи обратной связи.

Основной проблемой анализа динамической устойчивости является построение границ зон устойчивости и неустойчивости. Если /i(0 и /2(0 являются линейно независимыми решениями уравнения Хилла, то при помощи этих решений можно построить и другие комбинации линейно независимых решений путем линейного преобразования

то, основываясь на свойствах линейного преобразования случайной функции, находим

• измеряемых силах — поэтому возникает возможность линейного преобразования вторичного напряжения«трансфор-матора» в постоянное напряжение, пропорциональное силе, даже простыми выпрямительными схемами.

В настоящей главе наряду с общим решением системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата ставится также задача отыскания частного (при фиксированных начальных данных) и периодического решений. Поэтому в исходной системе уравнений (16.7) необходимо перейти к таким переменным, для которых отыскание периодического решения имело бы смысл. В качестве системы обобщенных координат, удовлетворяющей указанному выше требованию, можно принять угловые скорости масс или относительные углы закручивания смежных масс. Останавливаясь на последней, отметим, что к этой системе координат можно перейти путем линейного преобразования вектор-функции ф (t) при помощи матрицы Q по формуле

1. Общие понятия об устойчивости (216). 2. Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению (219). 3. Критерии асимптотической устойчивости линейного приближения (221). 4. Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры (225). 5. Устойчивость равновесия диссипативной системы. Функция Ляпунова (230). § 6. Движение консервативной системы в малой окрестности положения равновесия (в линейном приближении)........... 236

Линейные дифференциальные уравнения (14) (или (15)) называются уравнениями линейного приближения. Они приближенно описывают движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия. Уравнения линейного приближения (14) сами по себе не определяют размеров области, в пределах которой точные нелинейные уравнения (10) могут быть заменены этими

Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение системы уравнений (15) имеет вид

которое называется характеристическим уравнением линейного приближения. Каждый элемент этого определителя л-го порядка является квадратичным полиномом относительно Я; поэтому левая часть характеристического уравнения линейного приближения — характеристический полином — представляет собой полином степени т = 2п.

Консервативная система. В случае консервативной системы Q* = 0, поэтому все b*k = c'fk = 0 и уравнения линейного приближения (15) сводятся к виду

2. Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению. Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из того факта, что решения системы уравнений линейного приближения (15) имеют вид

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения *), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптотической устойчивости равновесия, так как она не решает вопроса о том, устойчиво ли равновесие в том случае, когда характеристическое уравнение (16) линейного приближения (15) наряду с корнями с отрицательными действительными частями имеет чисто мнимые корни (т. е. корни, которым на рис. VI.4 соответствуют точки, расположенные на самой мнимой оси). Такие случаи называются особыми. В особых случаях равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчивым, и вопрос об исследовании устойчивости в случаях такого рода представляет собой трудную задачу, которая не может быть решена только рассмотрением линейного приближения (15) и требует учета членов высших порядков в разложениях функций, входящих в уравнения (10).

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче: задано характеристическое уравнение (16); требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) Гурвица2). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми.

3. Критерии асимптотической устойчивости линейного приближения. Из различных критериев, дающих решение задачи Гур-вица, мы приведем здесь только сам критерий Гурвица и графический критерий (часто более удобный для практического использования), предложенный А. В. Михайловым в 1938 г.

где коэффициенты Л,- являются алгебраическими функциями от коэффициентов a,-fc уравнений линейного приближения (15).

4. Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчивости равновесия консервативной системы. Критерии устойчивости, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело в том, что у характеристического уравнения линейного приближения для консервативной системы все корни чисто мнимые1) и асимптотическая устойчивость не может иметь места. Выделить устойчивые положения равновесия в консервативной системе позволяет