Линейного ускорения

Для нахождения решения линейного уравнения четвертого порядка (3.57) нужно определить корни его характеристического уравнения

В случае линейного уравнения скорость окисления постоянна, т. е.

Гармонические функции. Непосредственной проверкой убеждаемся, что частными решениями уравнения (50.3) являются sin о»/ и cos ait. Это уравнение является линейным. Сумма решений линейного уравнения и произведение какого-либо решения на произвольную постоянную величину также составляет решение. Поэтому общее решение уравнения (50.3) имеет вид

AMi<'> и AMi(2) можно рассматривать соответственно как величины первого и второго порядка малости, поэтому AAfi<2) при получении линейного уравнения (4.59) можно пренебречь, т. е. для прямолинейных стержней всегда можно считать, что Afi=y4nAxi=Afio+ H-AAfi'1'. Поэтому слагаемые в уравнениях (4.57) и (4.58), содержащие Ахь определяются так:

Погрешность аппроксимации г>' характеризует различие между уравнениями для точного и для разностного решений. Но малые значения ф' еще не гарантируют, что сами решения Т> и и' также будут мало отличаться, т. е. что погрешность е/ будет мала. Возможны ситуации, когда при выполнении условия аппроксимации погрешность численного решения е,' неограниченно возрастает по мере продвижения по оси т с фиксированным Ат, т. е. при увеличении номера временного слоя /. Для анализа этого вопроса исследуем поведение погрешности численного решения простейшего линейного уравнения теплового баланса

здесь и( — сеточная функция, соответствующая значению температуры TI в момент времени Т; = /Ат; Ат — величина шага по времени. Отличие неявных схем для одного линейного уравнения и для системы уравнений состоит в том, что разностная схема (1.35) разрешалась в явном виде относительно u'+1, а в данном случае мы имеем систему JVT линейных алгебраических уравнений для определения WT значений сеточной функции U'+I = {«'+', «'+', ...,«'+'}.

Квазистационарный режим тел с переменными тепло-физическими свойствами для интервала температур от 400 до 1 800° К. Рассмотренные выше методы основываются на решениях линейного уравнения теплопроводности. Использование этих методов в широком интервале температур, когда существенно проявляется зависимость теплофизическ'их свойств от температуры, может привести к значительным ошибкам. Анализ показывает, что линейное приближение оказывается справедливым только при выполнении определенных условий [Л. 4-9, 4-14, 4-29].

Приближенное решение нелинейного уравнения теплопроводности

Пример решения линейного уравнения движения механизма. Пусть динамическая модель механизма представлена в виде

Функция (/(/), определяемая из линейного уравнения движе-ния, будет тоже гармонической функцией той же частоты, но с измененной амплитудой и фазой, причем эти изменения зависят от типа уравнения движения, от значений постоянных параметров и от угловой частоты со:

Амплитуда вынужденных колебаний линейного уравнения [(12.28) при р <С k дает соотношение

Определение углового ускорения в входного звена при заданной функции o)((j)) или линейного ускорения ат входного звена при заданной функции v(S) вычисляют по следующим соотношениям:

к — векторы линейного ускорения центра масс и углового ускорения звена.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением Р=та для тела, движущегося поступательно, видим, что структура их одинакова, только вместо величины силы Р в левой части стоит вращающий момент М, а в правой части масса заменена моментом инерции и вместо линейного ускорения появилось угловое ускорение. Физический смысл уравнений совершенно аналогичен. Поступательное движение возникает благодаря действию силы, вращательное — действию момента силы. Мерой инертности при поступательном движении является масса, а при вращательном — момент инерции, так как из уравнения (1.138) видно, что для сообщения телу одного и того же углового ускорения вращающий момент должен быть тем больше, чем больше момент инерции.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением Р = та для тела, движущегося поступательно, видим, что структура их одинакова, только вместо величины силы Р в левой части стоит вращающий момент, а в правой части масса заменена моментом инерции и вместо линейного ускорения появилось угловое ускорение. Физический смысл уравнений совершенно аналогичен. Поступательное движение возникает благодаря действию силы, вращательное — действию момента силы. Мерой инертности при поступательном

Зная угловую скорость и угловое ускорение вращающегося тела, а также расстояние от точки до оси вращения, можно найти величину и направление линейного ускорения для любой точки тела. Так как отношение тангенциального ускорения к нормальному jt/jn =- т/со2 одинаково для всех точек тела, то вектор полного ускорения ./для всех точек тела образует с радиусом, проведенным к этой точке, один и тот же угол р, причем tg (3 = т]/ы2 (рис. 17). Величина полного ускорения пропорциональна расстоянию до оси вращения. Поэтому для всех точек, лежащих на одном радиусе, концы векторов ускорения лежат на одной прямой. При ц >0 (угловая скорость возрастает) векторы ji лежат по ту же сторону от радиуса, что и векторы ©,; при Ц < 0 (угловая скорость уменьшается) векторы /,- и vt лежат по разные

из-формул поступательного движения получить формулы вращательного движения, необходимо вместо линейного перемещения s подставить угловое перемещение ср, вместо линейной скорости v — угловую скорость со, вместо линейного ускорения а — угловое ускорение е. Сравнение формул поступательного и вращательного движения удобно провести при помощи табл. 10.1.

Сравнивая формулы динамики точки или поступательно движущегося тела с формулами вращательного движения тела, легко заметить, что эти формулы по структуре аналогичны. Чтобы из формул поступательного движения получить формулы вращательного движения, необходимо вместо силы подставить вращающий момент, вместо линейного перемещения — угловое перемещение, вместо линейной скорости — угловую скорость, вместо линейного ускорения — угловое ускорение, а вместо массы — момент инерции тела относительно оси вращения.

Определение углового ускорения е входного звена при заданной функции ш(ф) или линейного ускорения а1 входного звена при заданной функции v(S) вычисляют по следующим соотношениям:

Безразмерный коэффициент линейного ускорения а или углового е

Величины фот и фот аналогичны угловой скорости и угловому ускорению, вследствие чего мы будем называть их аналогами угловых скорости и ускорения. Равным образом и величины 1'т и /т называются аналогами линейной скорости и линейного ускорения. Следует иметь в виду, что аналоги угловых скорости и ускорения являются величинами отвлеченными, а аналоги линейных скорости и ускорения — величинами линейными.

Теперь свяжем сигналы от датчика углового ускорения и датчика линейного ускорения, установленных в точке А{ и имеющих оси чувствительности вдоль г(-, с проекций комплексного ускорения.