Линеаризация уравнения

Заметим, что и в случае непериодического воздействия умножение возмущающей силы на постоянный множитель приводит к тому, что этот же множитель оказывается в правой части выражения (88) либо (89) для возникающих отклонений. Отсюда следует, что и в этом случае, если внешнее возмущение достаточно мало по модулю, то и отклонения обобщенных координат будут малы, а это значит, что движение не выйдет за пределы окрестности, где допустима линеаризация уравнений.

2. Классический путь получения дифференциальных уравнений колебаний системы из уравнений Лагранжа второго рода. Линеаризация уравнений. Будем исходить из уравнений Лаг^ ранжа второго рода, описывающих движение материальной системы (17.46):

Так как в дальнейшем будет проведена линеаризация уравнений (9.32), при вычислении входящих в эти уравнения скалярных произведений сохраним только слагаемые нулевого и первого порядка относительно компонентов перемещения. Поступая таким образом и деля почленно первое из уравнений (9.32) на (1 + 2ег) cos р,- второе — на (1 + 2е2) sin P и третье — на (1 + + 2ех + 2е2), приведем уравнения (9.32) к виду

На основании изложенного выше получаем, что линеаризация уравнений (4) или замена их уравнениями (5) корректно осуществима из условия

3. Линеаризация уравнений движения. Рассмотрим метод ли« неаризащш уравнений движения механизмов с нелинейными функциями положения, основанный на предположении о близости законов движения механизмов с упругими звеньями к законам движения жестких механизмов. Пусть первоначально для механической системы, изображенной на рис. 19, была выбрана динамическая модель с жесткими звеньями, описываемая уравнением (3.35). Присоединяя к этому уравнению характеристику двигателя, получим (для неуправляемой машины) полную систему уравнений движения машины. Предположим, что нам удалось определить некоторое решение этой системы уравнений, определяемое функциями времени qa(t), M№(t). Примем qn(t) за программное движение, a MRn(t) — за программный закон изменения движущего момента. Отклонения от программного движения, вызванные податливостью звеньев механизма, будем рассматривать как динамические ошибки. Ищем решение системы уравнений (3.40) в виде

Лапласа преобразование обратное 66 Линеаризация уравнений движения

Решение этой системы уравнений представляет серьезные математические трудности..-Поэтому в практике принимается ряд допущений, существенно .упрощающих исходную постановку и создающих условия, для решения задачи. Применяемая линеаризация уравнений (С. А. Чаплыгин, С. А. Христианович, Л. И. Седов, Л. Г. Лой-цянский, Карман, Цзянь и др.) позволила расширить круг задач, решаемых в конечном виде (обтекание тонких, слабоискривленных тел, расположенных в однородном газовом потоке под малыми углами атаки). Однако в ряде случаев линеаризация приводит к существенному осреднению параметров процесса. В подобных задачах использование моделирования 'может оказаться полезным.

4. Линеаризация уравнений

Динамические характеристики электрогидравлического усилителя. Для анализа динамики ЭГУ составим систему дифференциальных уравнений, описывающих совместную работу гидроусилителя и электромеханического преобразователя с учетом силового воздействия струй на заслонку. Дифференциальные уравнения ЭГУ составим применительно к быстродействующим системам, для которых справедливы следующие допущения: масса и трение золотника, а также утечка и зона нечувствительности гидроусилителя малы и ими можно пренебречь. Будем также считать, что все рабочие процессы гидроусилителя протекают в зоне «практически линейных» характеристик гидравлического мостика сопло-заслонка, в которой справедлива линеаризация уравнений расхода (6.56) и отсутствует ограничение по ходу заслонки. Кроме того, будем считать, что суммарное силовое воздействие на заслонку струй, вытекающих из сопел, выражается зависимостью (6.66). При этих допущениях система уравнений, описывающая движение электрогидравлического усилителя в линейной зоне, в которой справедливы обозначения h = Д/z; Ре = Арэ; х = Ах и / = А/, запишется в таком виде:

Глава третья. Одномерная модель элементов парогенератора и линеаризация уравнений динамики ..... 56

3-3. Линеаризация уравнений . . . . . . . . . 65

Легко понять, что линеаризация уравнения как в случае потери устойчивости классического типа (рис. 18.18, а), так и в случае потери устойчивости с перескоком (рис. 18.18, в) приводит к одной и той же картине (рис. 18.18,6). Таким образом, линейное описание явления не обнаруживает различия между неустойчивостью типа непрерывного перехода к новой форме устойчивого равновесия и перехода с перескоком, для выявления характера поведения системы при достижении нагрузкой критического значения необходимо использовать нелинейное описание явления.

нелинейной состоит в том, что вместо ветви 0, соответствующей последней задаче, получили линию 2. Однако можно ограничиться небольшим участком линии 2 в окрестности точки В (см. рис. 18.19), соответствующим малым значениям ф, т.е. ограничиться участком, которым только и можно пользоваться, поскольку линеаризация уравнения произведена в предположении малости ф.

Заметим, что линеаризация уравнения (или системы уравнений) предусматривает то, что механическая система, которой отвечает уравнение (система уравнений), геометрически неизменяема. При этом условии смещения, в частности, узлов и деформации (удлинения или укорочения) элементов системы имеют один порядок величины. При таком условии потенциальная энергия деформации, возникающая вследствие смещений, отлична от нуля. Если же деформации элементов имеют более высокий порядок малости, чем смещения, или вовсе равны нулю, то система является соответственно особой (мгновенно изменяемой или мгновенно жесткой) или изменяемой.

ной ранее верхней критической силе. Линеаризация уравнения

В заключение следует отметить, что нелинейное уравнение теплопроводности при произвольной зависимости h=f(T) сравнительно легко представляется в конечно-разностной форме различных видов. Расчетные зависимости с симметричным смещением обеспечивают высокую точность [формула (2-121)]. Однако в случае ярко выраженной несимметричности температурного поля, что имеет место в элементах конструкций тепловых машин, несимметричное смещение может обеспечить требуемую точность при большей простоте расчетных зависимостей [формулы (2-119), (2-120)]. Учет нелинейности усложняет расчетные зависимости для определения температуры. Кроме того, учет нелинейности приводит « тому, что коэффициенты в расчетных зависимостях являются переменными. Схема расчета, расчетный бланк и порядок проведения расчета сохраняются такими же, как и при решении линейного уравнения теплопроводности. Линеаризация уравнения теплопроводности при пользовании численным методом существенных преимуществ не дает.

Линеаризация уравнения энергии, проведенная методом малых приращений, дает:

Линеаризация уравнения теплового баланса для стенки дает уравнение, аналогичное (3-4), но написанное в приращениях.

Линеаризация уравнения возможна для малых отклонений от установившегося состояния. Предположим, что

Линеаризация уравнения движения и структурная динамическая схема гидропривода с дроссельным управлением. Исследование устойчивости процесса регулирования следящего контура привода при малых отклонениях координат может быть достаточно эффективно осуществлено на основе линеаризованного уравнения дроссельного привода.

Исследование динамики дроссельного гидропривода на элек-тронной моделирующей установке [. Исследование динамики дроссельного привода на электронной моделирующей установке имело целью показать влияние основных нелинейностей на характер переходных процессов и частотных характеристик привода и сделать заключение о диапазонах изменения входных управляющих сигналов, в пределах которых возможна линеаризация уравнения движения для анализа устойчивости сложных следящих систем с дроссельным исполнительным приводом. При этом исследовании было принято, что движение дроссельного гидропривода с достаточной степенью точности можно представить нелинейным дифференциальным уравнением (6.8), полученным на основании системы уравнений (6.7), полагая Ах„ = 0, хл = 0.

С целью анализа устойчивости и переходных процессов статического гидроусилителя с малым трением золотника в его расчетной зоне (h ^ hm; ро^Рт), в которой справедливы линейные зависимости между расходом и давлением и не достигаются ограничения хода заслонки, нелинейное уравнение гидроусилителя может быть линеаризовано с точностью, достаточной для инженерных расчетов. Линеаризация уравнения движения гидроусилителя в первую очередь заключается в линеаризации зависимости Qg = f(h; pg). Эта линеаризация осуществляется разложением системы уравнений (6.53) в ряд Тейлора и получением после принятых допущений линеаризованной зависимо' сти в виде уравнения (6.57)

Только при Л=1, т. е. при нагрузке выпучивания, решения проблем (41) и (43) идентичны; для других значений А они различны. Поэтому линеаризация уравнения (41) правомерна лишь в непосредственной близости точки бифуркации.