Линеаризации нелинейной

4. К. К. Глухарев, Г. В. Крейнин, Д. Е. Розенберг, К. Ф. Фролов. Оценка допустимости линеаризации нелинейных моделей (на примере пневматических полостей переменного объема).— В^наст. сб.

ОЦЕНКА ДОПУСТИМОСТИ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ (НА ПРИМЕРЕ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ПОЛОСТЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ОБЪЕМА)......................... 77

Оценка допустимости линеаризации нелинейных моделей (на примере пневматических полостей переменного объема). Глухарев К. К.,КрейнинГ. В., Розенберг Д. Е., Фролов К. В. Сб. «Исследование задач машиноведения на ЭВМ». М., «Наука», 1977.

Изложенный метод сведения нелинейной модели механизма к нестационарной линейной модели широко используется в работах И. И. Вульфсона [43, 441 для исследования динамических моделей, учитывающих податливость звеньев как передаточных, так и исполнительных механизмов. Другой способ линеаризации нелинейных моделей будет рассмотрен в § 4.

Важные характеристики динамического поведения исследуемой системы могут быть получены на основе ее так называемой линеаризованной консервативной динамической модели. Эту модель получают в результате линеаризации нелинейных упругих характеристик соединений, заключающейся в замене нелинейной упругой характеристики Z (а) линейной вида

Результаты расчета представлены на рис. 52 в виде графиков pr, c^/p.ajp, (//со2. На графике (//со2 нанесена также кривая идеальных значений П" (ф») и огибающие установившихся колебаний по- данным моделирования задачи на АВМ [29, 30], проведенного без предварительной линеаризации нелинейных членов. Поскольку специально был выбран режим с коэффициентами накопления

Итерационный параметр 0 подбирают экспериментально в процессе расчетов на ЭВМ. При 0 = 1 приходим к методу упругих решений. Важно, что в данном варианте метода линеаризации нелинейных алгебраических уравнений (2.76) на каждом этапе итерационного процесса матрица жесткости [К] остается в исходном виде: изменяется лишь столбец узловых сил {/?} . Указанная особенность этого метода позволяет при решении системы линейных алгебраических уравнений (2.67) на каждом шаге итерации использовать лишь обратный ход, что позволяет существенно уменьшить объем вычислительных операций на ЭВМ.

Рассмотрим особенности идеи статистической линеаризации нелинейных функций. В общем случае существенно нелинейных функций F (х) используются методы представления нелинейных функций статистически эквивалентными рядами [34, 25, 47'].

Из этого следует, что статистическая линеаризация оперирует с отрезком ряда (3.4) и, следовательно, в общем случае не может дать в принципе точного решения ни при каком законе распределения аргумента. Хотя методы статистической линеаризации не получили до настоящего времени строгого теоретического обоснования *, во многих практических случаях они дают по сравнению с точными методами вполне удовлетворительную точность [9, 11, 34, 54, 59]. В работах [33, 54, 59] показано, что существует широкий класс нелинейных динамических систем, для которых приближенный метод расчета, основанный на применении только статистической линеаризации, соответствует физической картине явлений. Широко распространенный метод статистической линеаризации нелинейных динамических систем основан на двух предположениях: 1) анализируемая нелинейная система близка к линейной, что дает возможность заменять бызынерционные нелинейные преобразования линейными; 2) известен с точностью до параметров закон распределения вероятностей процессов на входе в нелинейный элемент, что дает возможность определить линейное преобразование, эквивалентное нелинейному по статистическим характеристикам. Эти предположения эквивалентны предположению о нормальности закона распределения вероятностей всего вектора фазовых координат нелинейной системы.

Сферу применения точных аналитических методов удается расширить путем линеаризации нелинейных задач, в частности, с помощью подстановок и уравнений (2.7) и (2.8). Однако, получая точное решение линеаризованной задачи, не следует забывать о тех погрешностях, которые внесены в ее математическую формулировку при линеаризации. В некоторых случаях эти

устройство управления, предназначенное для организации обмена данными между устройствами, линеаризации нелинейных характеристик датчиков и масштабирования;

После линеаризации нелинейной функции положения в окрестности текущего угла ф„. = <о* и некоторых упрощений получаем

Коэффициент гармонической линеаризации нелинейной характеристики

где множитель в коэффициенте гармонической линеаризации нелинейной характеристики сухого трения Т при принятой форме нелинейности согласно графику на рис. 3.5, в

Количественные соотношения между экспериментальными характеристиками усилия трения при гармонических перемещениях •с различной частотой и принятым при расчетах коэффициентом гармонической линеаризации нелинейной характеристики сухого трения согласно рис. 3.5, в выявляются при сопоставлении величин их первых гармоник. На рис. 3.35 в увеличенном виде показаны совмещенные осциллограммы изменения усилия трения Т в направляющих каретки гидравлического следящего привода при синусоидальных перемещениях с низкой частотой со ~ 12 н-25 рад/сек и амплитудой а = 0,021 см (кривая 1), а также при автоколебаниях того же привода вблизи границы устойчивости (кривая 2). Сравнение осциллограмм позволяет сделать следующие выводы:

т. е. результат гармонической линеаризации нелинейной функции содержит только постоянную составляющую.

Привод № 2 имеет длинные жесткие трубопроводы (21тр = = 600 см) между управляющим золотником и силовым цилиндром, причем в каждую из полостей последнего подключено по баллону, емкостью Ve = 600 см3. Если не учитывать влияния на устойчивость привода массы и упругости жидкости в трубопроводах и принять множитель в коэффициенте гармонической линеаризации нелинейной характеристики трения в направляющих

При гармонической линеаризации нелинейной характеристики насыщения, обусловленной ограничением гидравлической проводимости золотника, характеристическое уравнение следящего привода на основании уравнений (6.105) и (6.107) при <р = 1; FTP = 0 и / = 0 запишется в таком виде:

мации возникает задача линеаризации нелинейной системы с целью

Определение этого решения может производиться различными методами; наиболее простым оказывается метод эквивалентной линеаризации нелинейной функции / (х) по функции распределения процесса (40). Этот метод подробно изложен в гл V т. 2.

Пусть g (t) стационарный нормальный случайный процесс с заданным математическим ожиданием mg и спектральной плотностью Sg (со) Тогда приближенное решение уравнения (3? ) может разыскиваться в виде стационарного случайного процесса, также обладающего нормальным распределением [159]. При этом можно пользоваться методом статистической линеаризации нелинейной функции / (ж), В соответствии с этим методом функция / (х) заменяется линейной функцией.

где амплитуду а определяют из соотношения г0(а) = а, а функции ш=со(а) и /o='b(fl) представляют коэффициенты линеаризации нелинейной характеристики г(х)\