Линеаризации уравнений

(например, случайный и направленно-случайный поиски при использовании кусочной линеаризации нелинейностей).

Рассмотрим решение нелинейных систем с понижением порядка описывающих уравнений на примере собственного движения нелинейной системы пятого порядка. При этом будем использовать метод гармонической линеаризации нелинейностей [23].

Вибрационный регулятор является автоколебательной системой [5]. Исследование автоколебаний проведем на основе метода эквивалентной линеаризации нелинейностей [1], [2], позволяющего заменить статистическую характеристику нелинейного звена следующим приближенным уравнением:

Для гидравлических следящих приводов характерны значительные массы подвижных частей и существенная упругость кинематических звеньев, определяемая сжимаемостью рабочей масляной среды. Поэтому движение этих приводов описывается дифференциальными уравнениями третьего и выше порядков. Точному математическому решению поддается лишь небольшое количество .нелинейных задач теории автоматического регулирования [3], причем для нелинейных дифференциальных уравнений выше второго порядка, даже если решение и получено, оно обычно оказывается слишком сложным для применения в инженерных расчетах. Поэтому целесообразными для исследования устойчивости гидравлических следящих приводов 'представляются приближенные методы и, в частности, метод гармонической линеаризации нелинейностей, предложенный в известных работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [65] и развитый в

Многократная проверка расчетных данных по устойчивости приводов, выведенных на основе метода гармонической линеаризации нелинейностей, данными практики и эксперимента показала близкое совпадение при правильном учете количества и величин основных параметров.

§ 3.2. ПРИМЕНИМОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СЛЕДЯЩИХ ПРИВОДОВ

Чрезвычайно важно, что при применении метода гармонической линеаризации никаких ограничений на форму решения для других переменных в том же приводе не накладывается и она может сколько угодно сильно отличаться от синусоиды, как например, усилие сухого трения в направляющих исполнительного органа, величина и знак которого скачкообразно изменяются при изменении направления скорости подвижных элементов (см. рис. 3.5). При этом только предполагается, что основная частота колебаний сохраняется для всех переменных. Последнее условие подтверждается для гидравлических следящих приводов экспериментом. При методе гармонической линеаризации нелинейностей эквивалентный коэффициент усиления принимает различные постоянные значения для синусоидальных колебаний с различными амплитудами. Эта особенность метода гармонической линеаризации соответствует второму выводу из результатов экспериментальных исследований.

Метод гармонической линеаризации позволяет после выполнения гармонической линеаризации нелинейностей исследовать устойчивость системы по частотному методу, который удобен в применении к системам выше второго порядка и не накладывает каких-либо ограничений на порядок системы. Эта особенность метода гармонической линеаризации хорошо согласуется с третьим выводом из результатов экспериментальных исследований.

Разработанная методика исследования существенно нелинейных систем автоматического регулирования по методу гармонической линеаризации нелинейностей [86] показывает, что по этому методу достаточно просто можно исследовать динамику систем, содержащих не только одну, но также и несколько существенных нелинейностей, что важно, учитывая четвертый вывод из результатов экспериментальных исследований.

При применении метода гармонической линеаризации нелинейностей используется лишь первая гармоника от разложения нелинейной функции в ряд Фурье. Поэтому условием применимости метода гармонической линеаризации к системам с сильно выраженными нелинейностями является требование, чтобы приведенная линейная часть системы автоматического регулирования обладала свойством фильтра. Как показывает последний вывод из результатов экспериментальных исследований, гидравлические следящие приводы удовлетворяют этому условию.

Исключаем из уравнений (3.122) и (3.126) переменную q с учетом результатов гармонической линеаризации нелинейностей,., после чего получаем следующее уравнение движения привода:

Эти уравнения получаются в результате линеаризации уравнений (1.1) в окрестности состояния равновесия (А;*, у*, г*) относительно малых величин = х — х*, т] = = У — У*> ? = z — г*. Решение уравнений (1.2) определяется корнями характеристического уравнения

ближенные значения векторов Q, M. Следует заметить, что пренебречь произведением векторов AxXQ и ДхХМ можно только в том случае, когда х/0^0. Если же х/о=0, то в произведениях векторов AxXQ и АхХМ для линеаризации уравнений равновесия надо использовать начальное напряженное состояние стержня, вызванное силами, которые не изменяют его прямолинейной формы. Например, для сил, вызывающих только осевое усилие Qio и крутящий момент Мщ,

Выше были рассмотрены наиболее характерные математические приемы, применяемые для линеаризации уравнений ламинарного закрученного потока. Аналогичный подход можно использовать и при других законах начальной закрутки. Однако, в связи с отсутствием прямых измерений скорости в ламинарных закрученных потоках оценить погрешность сделанных допущений пока не преставляется возможным. Можно только констатировать качественное согласование с результатами измерения скоростей в турбулентных потоках (гл. 2).

Задача линеаризации уравнений (4) может быть сформулирована следующим образом. Требуется построить такой линейный оператор А, чтобы для каждой точки области D уравнения (4) и (5) были бы в известном смысле близкими (например, равномерно по х ЕЕ D в смысле введенной метрики).

определенные на Z)2, Аг = (оц, . . ., «in)Ti задачу линеаризации уравнений (4) можно сформулировать как задачу подбора таких векторов Аг, чтобы разности Аг были бы как можно меньше равномерны по у во всей области D. Введя некоторое нормированное пространство М, малость А (у) будем понимать в смысле вве-.денной в М метрики.

Метод линеаризации уравнений 53

ных уравнений изгиба оболочек и пластин. Краевая задача также сводится к начальной задаче Коши. Для устойчивого численного решения применяется метод прогонки с ортогонализацией. Для конструкций с разветвлением меридиана используется метод перемещений. Например, в работе [3] для линеаризации уравнений равновесия в случае геометрически и физически нелинейных задач применяется итерационная схема Ньютона—Канторовича. Для несимметричной нагрузки применяется разложение в ряды Фурье. Численное интегрирование проводится по методу Кутта-Мерсона. Приводится большое число подпрограмм, записанных на алгоритмическом языке АЛГОЛ-60, а также примеров составления программ расчета различных составных оболочечных конструкций.

Приближенные аналитические условия устойчивости могут быть получены путем линеаризации уравнений (11) на кусках.

2) проведение в некоторых случаях линеаризации уравнений, т. е. сведение нелинейной задачи к линейной;

Лучшее согласование экспериментальных данных с теоретическими дает метод -эквивалентной задачи теории теплопроводности [3], если, следуя эксперименту, для каждого сечения потока задавать начальное распределение температуры для эквивалентной задачи в виде кольца постоянной температуры на бесконечной плоскости таким образом, чтобы его площадь оставалась равной площади сечения потока на срезе сопла, а средний радиус был равен среднему радиусу кольцевой струи в рассматриваемом сечении. Последний определяется из эксперимента как радиус окружности максимальных значений плотности потока импульса или избыточного теплосодержания. При таком расчете получается плавное изменение всех параметров вдоль оси потока, начиная от его среза. Заметим, что метод линеаризации уравнений движения, предложенный Г. Рейхардтом, был также, применен к расчету потока с градиентами статического давления (основной участок следа за плохо обтекаемым телом) [2].

Аналогично примечанию (см. стр. 287 сноска1) условия устойчивости {14) и (16) не исключают отдельных возрастаний погрешностей. Это, в частности, имеет место в пристеночной зоне. В наших рассуждениях не принимались во внимание краевые условия, однако предполагалось, что рассматриваемая точка сетки, так же как и все другие, находится во внутренней области потока. Вблизи стенки следует принимать во внимание краевое условие ujfl = 0, значительно влияющее на процесс движения. Поэтому вблизи стенки ошибки распространяются не только на точки сетки с &'< О, а ошибки, большей частью вследствие s!0=Q и t]jo = 0, будут снова влиять на внутреннюю область^Другими предположениями при выводе условия (16) были: 1) точка (х, у) лежит в устойчивой области; в этом случае У < 0; 2) возможность линеаризации уравнений ошибок; 3)_ h и / малы настолько, что в окрестности рассматриваемой точки (х, у) лежит еще достаточно большое количество точек. В двух последних предположениях отражаются трудности, которыми всегда пренебрегают при аппроксимации нелинейных дифференциальных уравнений методом конечных разностей.