Линеаризованные уравнения

Таким образом, при рассмотренных выше методе аппроксимирования приведенного момента и линеаризации уравнения движения машинного агрегата задача численного интегрирования системы дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов с переменным верхним пределом. Заметим, что функции Мс (ф, ф) и J (ф) часто задаются в табличной форме. При этом значение кинетической энергии оказывается необходимо вычислять только для определенных (базовых) точек.

В относительных координатах и изображениях Лапласа после линеаризации уравнения (12) это выражение примет вид

Вводя так же, как и выше, вариации величин для возмущенного движения, получим после линеаризации уравнения в вариациях:

Гибридные модели этого типа для решения задач теплопроводности представляют интерес, так как они с успехом могут применяться не только для моделирования уравнения Фурье или уравнения Пуассона, когда исследуется температурное поле при наличии источников тепла, но и для моделирования задач с нелинейными изменяющимися во времени граничными условиями. Это приобретает особый смысл, если учесть, что нелинейность в граничных условиях бывает обусловлена как физическим смыслом (например, лучистый теплообмен), так и последствием линеаризации уравнения теплопроводности с помощью подстановок. В последнем случае пассивные модели — 7?-сетки (для стационарной задачи) и ^С-сетки (для нестационарной задачи) в сочетании с блоками электронного моделирования — могут решать нелинейные задачи теплопроводности с не-линейностями I рода, переведенными в нелинейности II рода. При этом количество активных элементов значительно сокращается, так как их функцией является лишь реализация нелинейных граничных условий.

IV. СПРАВЕДЛИВОСТЬ ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЯ И ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ

После гармонической линеаризации уравнения (62) в операторном виде приводятся к одному уравнению переходного процесса

После линеаризации уравнения (15) и (16) относительно возмущений (19) с учетом характеристики возбуждения (18) запишутся так:

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЯ

Потенциал скорости при малых возмущениях удовлетворяет уравнению, которое получается путем линеаризации уравнения (1.134),

(возмущения объемных и поверхностный сил в общем случае зависят от времени t; (J. - малый параметр). Подставляя (7.1.24) в (7.1.22) и (7.1.23) и используя малость отклонений, получим после линеаризации уравнения

На первый взгляд предлагаемые обобщения детерминистических методов на стохастические нелинейные задачи являются вполне естественными, однако это' не совсем так. Как в методе малого параметра, так и в методе статистической линеаризации уравнения (3.4) и (3.5), полученные в результате преобразований,

Система уравнений (7.81) представляет собой линеаризованные уравнения движения, неуправляемого велосипеда с жесткими колесами.

струкция - жидкость, в связи с чем используются линеаризованные уравнения механики жидкости и колебаний конструкций;

Предположим, что к моменту времени tN выполнены дискретные измерения в моменты времени tl,t2,...,tN . Пусть размерность вектора состояния объекта равна п , и измерения осуществляются п датчиками, следовательно. размерность вектора измерений равна п . Линеаризованные уравнения, соответствующие уравнениям (1) и (2}^

Тогда для течения в трубе линеаризованные уравнения движения будут иметь следующий вид:

§ 4. Линеаризованные уравнения

Рассмотрим, как можно получить и использовать линеаризованные уравнения на знакомых простейших примерах. В первом примере тривиальное исходное состояние равновесия ф = О можно считать известным и без решения полного нелинейного уравнения. Найдем условия существования других состояний равновесия, бесконечно близких к этому исходному. В данном случае найдем условие равновесия стержня, отклоненного от вертикали на бесконечно малый угол фц (рис. 1.14, а). Угол фх считаем бесконечно малым и в уравнении равновесия учитываем только те слагаемые, которые содержат этот угол в первой степени (отсюда и название «линеаризованное уравнение»). Тогда можно записать Р/фх = &фх, или

Линеаризованные уравнения дают возможность найти точки бифуркации, но при этом остаются совершенно не выясненными ни тип точки бифуркации, ни характер поведения системы при конечных отклонениях от исходного положения равновесия. Действительно, однородные линеаризованные уравнения (1.13) и (1.14) принципиально ничем не отличаются одно от другого, хотя точки бифуркации соответствующих систем относятся к разным типам и при отклонениях от исходного положения равновесия эти системы ведут себя качественно различно. Схематично это показано на рис. 1.14, б. Однородное линеаризованное уравнение получено для бесконечно малых величин
Линеаризованные уравнения позволяют с точностью до масштаба определять равновесные конфигурации системы в смежных ^исходным состояниях. Так, из уравнений (1.15) следует, что при Р = Р! углы фх и фа связаны соотношением фх = 2ф2, а при Р = Р2 соотношением фх = —фа. Соответствующие равновесные конфигурации изображены на рис. 1.15, б и в.

Таким образом, однородные линеаризованные уравнения дают возможность находить точки бифуркации и с точностью до масштаба определять конфигурации равновесных положений системы в окрестностях точек бифуркаций. Но однородные линеаризованные уравнения не могут дать информации о поведении системы при конечных значениях ее отклонений от исследуемого исходного положения равновесия и о характере точек бифуркации.

Однородные линеаризованные уравнения теории упругой устойчивости — основной рабочий инструмент этой теории — относятся к разделу математики, называемому задачи на собственные значения (см. приложение I). Кроме однородных линеаризованных уравнений, служащих для определения точек бифуркации, в теории упругой устойчивости широко применяют неоднородные линеаризованные уравнения для приближенного описания поведения систем с начальными неправильностями при малых, но конечных значениях отклонений. Такие уравнения достаточно полно характеризуют поведение систем вблизи точек бифуркаций первого типа (см., например, § 18).

Линеаризованные уравнения, использованные выше при решении задач устойчивости стержней, дают возможность находить собственные функции задачи и собственные значения параметра нагрузки. Наименьшее собственное значение равно критическому значению нагрузки, а соответствующая ему собственная функция описывает форму изогнутой оси стержня в окрестностях первой точки бифуркации. Но однородное линеаризованное уравнение не может дать никакой информации о характере критической точки бифуркации и о поведении стержня при конечных прогибах после потери устойчивости.