Линеаризованное уравнение

«„, qn рассчитываются но значениям температур t,?~l}, и„"' на предыдущей итерации, а затем решается система линеаризованных уравнений относительно температур /,(,"\ и^} на новой s-й итерации с помощью стандартной подпрограммы.

Полученное условие устойчивости справедливо не только для линейных, но и для линеаризованных уравнений независимо от членов выше первого порядка малости. В этих случаях говорят об устойчивости движения по первому приближению (теорема Ляпунова) '. Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней линеаризованного уравнения требуется дополнительное исследование устойчивости.

Полученное условие устойчивости справедливо не только для линейных, но и для линеаризованных уравнений независимо от членов выше первого порядка малости. В этих случаях говорят об устойчивости движения по первому приближению (теорема Ляпунова) *). Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней линеаризованного уравнения требуется дополнительное исследование устойчивости.

В промежутке между точками О и В\, В\ и В2 и выше точки Bj никаких форм равновесия, кроме прямолинейной формы, нет. Поскольку приведенное решение получено на основе линеаризованных уравнений, справедливых при малых ф] и <р2, пользоваться прямыми / и 2 можно лишь на участках, примыкающих соответственно к точкам В\ и В2. Если бы были использованы нелинейные уравнения равновесия, справедливые не только при

Эта форма равновесия становится безразличной в критической точке (в первой точке бифуркации) и неустойчивой на всем протяжении оси параметра нагрузки выше первой точки бифуркации. Возникающие в первой точке бифуркации новые формы равновесия устойчивы. Формы же равновесия, возникающие во всех остальных точках бифуркации, неустойчивы. Точки бифуркации могут быть найдены как из нелинейных уравнений, так и из линеаризованных уравнений равновесия системы в отклоненном от первоначальной формы положении.

востью в виде непрерывного перехода и неустойчивостью с перескоком. К такому же выводу приводит сопоставление линеаризованных уравнений для неидеальной системы, полученной из системы на рис. 18.64, а путем введения эксцентриситета нагрузки (рис. 18.64, в) или начального наклона стержня (рис. 18.64,г), с аналогичными уравнениями для неидеальной системы на рис. 18.63, соответствующей системе на рис. 18.60.

1.3. Нелинейная система. Все предыдущие рассмотрения относились к линейной системе. Положим теперь, что линейная система имеет смысл первого приближения некоторой истинной нелинейной системы. Суждение об устойчивости последней По результатам анализа соответствующих линеаризованных уравнений основывается на следующих теоремах .Ляпунова').

При решении задач упругой устойчивости центральное место занимает определение критических точек бифуркации и критических нагрузок. Точки бифуркации определяются как точки пересечения различных решений нелинейных уравнений (именно так они определялись в рассмотренных выше примерах). Но их можно найти и иначе, минуя решение нелинейных уравнений. Это можно сделать с помощью однородных линеаризованных уравнений.

Основная идея определения точек бифуркации с помощью однородных линеаризованных уравнений состоит в следующем. Предположим, что одна какая-то форма равновесия системы известна и нужно найти точки бифуркации этой формы равновесия. Для этого достаточно, не интересуясь поведением системы вдали от известной формы равновесия, найти условия существования других форм равновесия, отличных от исходной, но бесконечно к ней близких. Те точки, в окрестностях которых существуют такие формы равновесия, и будут точками бифуркации.

Этот способ определения точек бифуркации с помощью линеаризованных уравнений можно использовать при решении других более сложных задач.

Рассмотрим, например, систему, состоящую из двух жестких стержней с двумя упругими шарнирами (рис. 1.15, а). До нагру-жения оси стержней расположены на одной вертикали и сила Р действует вдоль этой вертикали. Состояние равновесия такой системы, при котором стержни остаются на одной вертикальной прямой, будем считать исходным. С помощью линеаризованных уравнений найдем точки бифуркации этого исходного состояния.

1. Рассматривается линеаризованное уравнение, составленное применительно к новой форме равновесия, отличной от первоначальной формы, приобретаемой системой при нагрузке, соответствующей точке бифуркации (она же критическая точка).

1. Составляется линеаризованное уравнение равновесия системы, находящейся в положении, отклоненном от первоначальной формы равновесия.

В первой, вводной главе, важнейшие понятия теории упругой устойчивости — точка бифуркации, критическая нагрузка, линеаризованное уравнение, граница области устойчивости и энергетический критерий устойчивости — введены и проиллюстрированы на примерах упругих систем с одной-двумя степенями свободы, подобно тому, как это обычно делается в теории механических колебаний. Кроме того, в первой главе рассмотрены ограничения и допущения, используемые обычно при формулировке и решении задач устойчивости тонкостенных элементов силовых конструкций.

Рассмотрим, как можно получить и использовать линеаризованные уравнения на знакомых простейших примерах. В первом примере тривиальное исходное состояние равновесия ф = О можно считать известным и без решения полного нелинейного уравнения. Найдем условия существования других состояний равновесия, бесконечно близких к этому исходному. В данном случае найдем условие равновесия стержня, отклоненного от вертикали на бесконечно малый угол фц (рис. 1.14, а). Угол фх считаем бесконечно малым и в уравнении равновесия учитываем только те слагаемые, которые содержат этот угол в первой степени (отсюда и название «линеаризованное уравнение»). Тогда можно записать Р/фх = &фх, или

существования нетривиального решения линеаризованного уравнения найдена та же точка бифуркации, которая выше определена как точка ветвления решения полного нелинейного уравнения. Аналогично можно получить линеаризованное уравнение и для второго из рассмотренных выше примеров (см. рис. 1.2, а). Рассмотрев равновесие стержня, отклоненного от вертикали на бесконечно малый угол фх, получим

Линеаризованные уравнения дают возможность найти точки бифуркации, но при этом остаются совершенно не выясненными ни тип точки бифуркации, ни характер поведения системы при конечных отклонениях от исходного положения равновесия. Действительно, однородные линеаризованные уравнения (1.13) и (1.14) принципиально ничем не отличаются одно от другого, хотя точки бифуркации соответствующих систем относятся к разным типам и при отклонениях от исходного положения равновесия эти системы ведут себя качественно различно. Схематично это показано на рис. 1.14, б. Однородное линеаризованное уравнение получено для бесконечно малых величин
известное допущение, на основе которого решается большинство задач теории упругой устойчивости тонкостенных конструкций. Обратимся снова к классической задаче устойчивости шар-нирно-опертого сжатого стержня (рис. 1.16). Как показано в § 4, линеаризованное уравнение изгиба такого стержня приводит к классической формуле Эйлера

§ 13. Основное линеаризованное уравнение и его решение

Линеаризованное уравнение изгиба стержня в плоскости ху получим при следующих допущениях.

Из условия стационарности A3 (или из условия A3 = 0 при дополнительном требовании минимума критической нагрузки) можно найти (точно или приближенно) точки бифуркаций прямолинейной исходной формы равновесия стержня. В частности, из условия стационарности следует основное линеаризованное уравнение (3.4) и возможные для этого уравнения граничные условия. Действительно, приравняв нулю первую вариацию изменения полной потенциальной энергии A3, получим (см. приложение II)

•Откуда следует основное линеаризованное уравнение (3.4) и однородные граничные условия при х = 0 и х = I: