Логарифмически нормальной

Спектры эксплуатационных нагрузок для различных машин и их элементов представляются обычно в виде кривых плотности вероятности для соответствующего фактора (см. примеры на рис. 30, в и г), Например, исследование распределения мощности на шпинделе токарных станков показывает большую неравномерность в загрузке станков и малое использование максимально допустимых нагрузок. Аналогичная картина, по данным ЭНИМС [52 ], наблюдается и при анализе распределения частоты вращения шпинделя универсальных станков. Эти зависимости могут быть во многих случаях описаны законом Релея, логарифмически-нормальным или другим асимметричным законом распределения. В ряде случаев рассеивание действующих факторов подчиняется нормальному закону распределения, например, распределение крутящих моментов на полуоси заднего моста самоходного комбайна [98 ] и распределение напряжений в рамах железнодорожных вагонных тележек [34].

На рис. 1 показан пример построения интегральной функции для напряжений по числу пересечений записью случайных нагрузок определенного количества счетных уровней. Нормализованные спектры нагрузок показаны на рис. 2 для напряжений, действие которых характеризуется распределением: а) равновероятным; б) нормальным; в) логарифмически нормальным; г) линейным.

Как было отмечено, данные испытаний композитных материалов могут быть успешно описаны и распределением Вейбулла и нормальным (логарифмически нормальным) распределением. Представляет интерес определение чувствительности вычисляемого значения коэффициента запаса для заданного уровня надежности к изменениям коэффициента вариации при различных функциях распределения. Этот вопрос исследован Джонсом [21]; результаты приведены в табл. 9.

1 Логарифмически нормальным распределением случайной величины X

Расчетная функция распределения на среднем участке вполне удовлетворительно аппроксимируется логарифмически нормальным законом, однако на «хвостах» наблюдаются заметные расхождения, что вызывает необходимость постановки специальных исследований.

Реальные импульсные помехи описываются логарифмически нормальным законом распределения.

Приведем пример расчета программы нагружения элемента несущей системы трактора, спектр нагруженное™ которого описывается логарифмически нормальным законом с такими параметрами: среднее квадратическое отклонение логарифмов амплитуд напряжений slg = 0,15, среднее значение логарифмов амплитуд напряжений lgcra ==2,655. Предполагается, что условия работы объекта испытаний в течение всего ресурса эксплуатации не изменяются, т. е. характеристики спектра остаются неизменными. На рис. 20 в интегральной форме представлен спектр напряжений 1 и исходная кривая усталости 2 конструкции с пара-

В отдельных случаях характеристики ремонтопригодности могут описываться такими несимметричными распределениями, как логарифмически нормальным, гамма-распределением, распределением Вейбулла.

2.4д. Логарифмически нормальное распределение. Если Z = In X и Z имеет нормальное распределение с параметром положения [г и параметром масштаба а, то распределение X называют логарифмически нормальным и определяют из соотношения fx(-) = fz (•) \J \- Якобиан / равен dz/dx = \/x; следовательно, плотность логарифмически нормального распределения

Многие из представленных в табл. 2.11 методов исследования операций основаны на математико-статистических моделях, полученных вначале опытным путем. Практика управления машиностроительным производством подтверждает справедливость ряда теоретических моделей, гипотез о влиянии технологических, экономических и психологических факторов на конечные результаты производства. Установлено, что распределение многих технологических показателей происходит в соответствии с нормальным законом, экономических — в соответствии с saKj-нами логарифмически нормальным и Парето, психологических — в соответствии с законами экспоненциальным и Пуассона. Статистическое подтверждение получают модели типа производственных функций, кривых обучения (производственного прогресса), прогностических функций. Для расчета оптимальной стратегии управления производством все большее применение находят методы теории массового обслуживания, модели цепей Маркова, байесовские вероятности.

Результаты обработки достаточно большого количества данных позволяют заключить, что распределение вероятностей рассматриваемых величин хорошо аппроксимируется логарифмически-нормальным законом. Последнее упрощает статистическую обработку и повышает ее надежность.

Результаты испытаний для каждого из уровней напряжения располагают в вариационные ряды, на основании которых строят семейство кривых распределения долговечности в координатах Р — N" на логарифмически нормальной вероятностной бумаге. Задаваясь значениями вероятности разрушения, на основании кривых распределения долговечности строят семейства кривых усталости равной вероятности.

Чаще всего используется плотность вероятности времени выполнения ремонта, которая аналогична плотности логарифмически нормального распределения: она начинается в начале координат, возрастает до максимума при модальном значении и продолжается в виде длинного «хвоста». Нередко используются плотности вероятности, более сложные по сравнению с логарифмически нормальной, когда исходной точкой является не нулевая длительность, а некоторое минимальное время выполнения ремонта, например 10 мин.

вида 3 на логарифмически нормальной вероятностной бумаге. Параметр положения т можно оценить методом последовательных приближений. Если окажется, что «лучшая» линейность достигается в том случае, когда т вычитают из каждого наблюдения и наносят на график уточненные данные, то т оценивают как параметр положения. Здесь т = 0, и для остальных параметров получаем:

Проверка справедливости применения закона логарифмически нормального распределения для экспериментальных данных просто и наглядно выполняется на логарифмически нормальной вероятностной бумаге. Закон распределения на графике представляется прямой линией, проходящей через две точки е координатами lg N\ UP + 5 = 5 и lg N + sn$ ир + 5 •= 6 (ир — квантиль вероятности Р; ир + 5 — сдвинутая квантиль). Эта линия, характеризующая эмпирическую функцию распределения, используется для построения кривых усталости.

\\»\\ на логарифмически нормальной вероятностной сетке:

соб. На основании вариационного ряда (табл. 6.3) на логарифмически нормальной

Рис. 9.9. Пример логарифмически нормальной бумаги. По оси абсцисс — вероятность события (выживание, разрушение); по оси ординат — исследуемая случайная переменная (прочность, долговечность и т, п.),

Места положения точек при использовании бумаги Вейбулла определяются так же, как и в описанном ранее случае применения нормальной или логарифмически нормальной бумаги. Если нанесенные на бумагу Вейбулла данные достаточно хорошо аппроксимируются линейной зависимостью, через экспериментальные точки

Рис. 10.3. Результаты испытаний на усталость с постоянной амплитудой напряжения, изображенные графически на логарифмически нормальной вероятностной бумаге (Ps — вероятность выживания). (По работе [1].)

сируется долговечность; опыт показывает, что распределения дол-говечностей при амплитудах напряжения, превышающих предел усталости, хорошо аппроксимируются логарифмически нормальным законом распределения. Все данные, полученные при каждом отдельном значении амплитуды напряжения, наносятся в виде графика на логарифмически нормальной вероятностной бумаге с целью проверки закона распределения и определения среднего значения и вариации логарифма долговечности при заданной амплитуде напряжения.

На рис. 10.2 показаны для примера результаты экспериментальных исследований при постоянных амплитудах напряжения, представленные в виде стандартной кривой усталости, а на рис. 10.3 — те же самые результаты в виде графиков на логарифмически нормальной вероятностной бумаге. Можно заметить, что предположение о логарифмически нормальном законе распределения точнее для более высоких напряжений, а для напряжений, близких к пределу усталости, оно не справедливо; это объясняется неоднородностью данных при напряжениях, близких к пределу усталости,— среди этих данных есть как случаи разрушения, так и случаи выживания. Поэтому метод не рекомендуется применять при напряжениях, близких к пределу усталости. При более высоких амплитудах напряжения метод испытаний при постоянных амплитудах эффективен и служит хорошим средством получения семейства кривых усталости равной вероятности разрушения в ограниченном диапазоне изменения долговечностей.