Логарифмически нормального

7. Логарифмически нормальное распределение

Это логарифмически нормальное распределение

8. Логарифмически нормальное распределение В этом случае по (1.9) для надежности имеем Я = Ф(м),

3. Логарифмически нормальное распределение

Рис. 31. Логарифмически нормальное распределение

При малых 0Z логарифмически нормальное распределение близко к нормальному. Поэтому при az < < 0,1 ... 0,13 возможна приближенная замена логарифмически нормального распределения нормальным с параметрами

Несколько лучше, чем нормальное, описывают результаты усталостных испытаний логарифмически-нормальное распределение, в котором по нормальному закону распределяется логарифм наработки, и распределение Вейбулла, которое может рассматриваться как обобщение экспоненциального распределения. Однако оперирование этими распределениями сложнее.

Нормальный закон в ряде случаев рекомендуют применять при износе и других постепенных отказах. Однако часто наблют даются асимметричные законы распределения. В этих случаях могут подойти логарифмически-нормальное распределение, закон Вейбулла, гамма-распределение, распределение Релея. Они часто применяются, например, при оценке результатов испыта^ ний на усталостную прочность.

В работе [401 сделана попытка оценить на основании этих данных вероятность безотказной работы образца Р (t) в интервале (0—0,45) 10* циклов и время (число циклов) Tei01, за которое успеет отказать один процент изделия (квантиль уровня 0,01). Оказалось, что с опытными данными хорошо согласуются различные распределения — логарифмически-нормальное, нормальное и Вейбулла. Критерий согласия Колмогорова не превышал величины 0,15, что значительно меньше допустимых отклонений при 20% уровне значимости. Результаты расчетов сведены в табл. 11 [401.

Логарифмически-нормальное In Tt = 5,084 04= 0,189 1_ 0,01 1 = 0,989 0,44- 105

При исследовании прочности композиционных материалов обычно используют два основных типа распределения *: нормальное и Вейбулла; логарифмически нормальное распределение часто используют при описании разброса данных усталостных испытаний (этот вопрос будет рассмотрен ниже). Основные различия между двумя распределениями и зависимости между основными параметрами каждого из них приведены в табл. 2.

При малых 0Z логарифмически нормальное распределение близко к нормальному. Поэтому при az < < 0,1 ... 0,13 возможна приближенная замена логарифмически нормального распределения нормальным с параметрами

Трудность изучения усталостных кривых состоит в чрезвычайно большом разбросе циклической долговечности, затрудняющем четкое выявление хода кривой, поэтому для детального изучения ее характера наиболее правильно сделать статистический анализ экспериментальных данных. Авторам работы [99] был изучен закон распределения циклической долговечности на .заданных уровнях амплитуды напряжений. На достаточно большом количестве экспериментального материала было показано существование логарифмически нормального закона распределения значений долговечности титановых сплавов при заданных циклических напряжениях, составляющих 1,1 — 1,5 от установленного предела выносливости на базе 10 • 106 —10 • 107 цикл. .

Проверка справедливости применения логарифмически нормального закона распределения для экспериментальных данных просто и наглядно выполняется на логарифмически вероятностной бумаге. Логарифмически нормальный закон распределения на графике представляется прямой линией. Эта линия будет характеризовать эмпирическую функцию распределения и используется для построения диаграммы усталости.

Б. Описание долговечности при помощи логарифмически нормального распределения ................ 69

при помощи логарифмически нормального распределения

Обработку результатов (рис. 4.2.6), усталостных испытаний материала (точки 1) и натурной конструкции — металлорукавов (точки 2), проводили с использованием логарифмически нормального закона распределения. В результате построения кривых распределения Р (N/) определен порог чувствительности по циклам NO в зависимости от деформации е. Величины N() материала и металлорукавов идентичны.

3) выброс генерировался в зависимости от анализируемой ситуации. При аварии из-за коррозии выбросы генерировались с использованием логарифмически нормального распределения с учетом формул истечения газа из отверстия при заданном давлении. Для условий полного разрыва использовались предварительно рассчитанные значения. Неприятным осложнением здесь были разногласия относительно корректного метода предсказания поведения струи газа;

проверяют их качественное совпадение или несовпадение. Такое сравнение удобнее всего проводить не сравнением непосредственно эмпирического распределения в виде гистограммы с теоретическим, а графическим построением эмпирической функции на соответствующей "вероятностной" бумаге. Существуют стандартные формы такой вероятностной бумаги для экспоненциального, нормального, логарифмически нормального распределений, для распределения Гнеденко-Вейбулла с различными параметрами и пр. Координатные оси на этой бумаге имеют нелинейную шкалу, которая такова, что, например, на экспоненциальной бумаге выборочные значения из экспоненциальной совокупности будут ложиться практически по прямой линии, причем угол наклона прямой будет даже давать представление о значении параметра. То же будет и для других распределений. Существенное отклонение выборочной функции от прямой на вероятностной бумаге определенного типа говорит о том, что данная гипотеза неверна.

На рис. 8 приведен график логарифмически нормального распределения срока службы новых двигателей автомобилей ЗИЛ-130 16].

Рис. 8. График плотности логарифмически нормального распределения срока службы автомобильных двигателей

Рис. 11. Функции плотности и интегральной вероятности для нормального и логарифмически нормального распределений.