Логарифмически нормальному

Иногда в логарифмически нормальном распределении используют натуральный логарифм случайной величины X. В этом случае во всех формулах десятичные логарифмы меняют на натуральные, а величину M! считают равной единице. Для логарифмического нормального распределения коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс имеют вид

По имевшим место к моменту исследования случаям обнаружения трещин на верхних поясах шпангоута № 18 хвостовых балок вертолетов Ми-6 была выполнена вероятностная оценка величины наработки, до которой появление подобных трещин на других вертолетах маловероятно [17]. Начиная с этой наработки, необходимо было вводить контроль стыка по шпангоуту № 18 в процессе ремонта для выявления в нем трещин. Оценка нижней границы разброса наработок при достижении предельного состояния стыка по шпангоуту № 18 проведена по методике, в которой использованы представления о линейном накоплении усталостных повреждений, логарифмически нормальном законе распределения усталостной долговечности [18], а кинетика развития усталостных трещин рассмотрена как линейная зависимость прироста усталостных трещин за полет по ее длине [19]. В результате было получено, что до наработки 10000 ч вероятность появления указанных трещин не превышает 5 %.

1. Подсчет среднего арифметического значения и среднеквадратичного отклонения результатов испытаний образцов на каждом отдельном уровне напряжений (по 5 — 20 образцов на «точку») при логарифмически нормальном законе распределения данных испытаний.

Кривая распределения долго- 0,05 вечности строится на вероятностной сетке. По оси абсцисс откладываются десятичные логарифмы долговечностей, а по оси ординат — вероятность в масштабе, соответствующем логарифмически нормальному закону распределения (рис. 30) или распределениям Вейбулла, Стъюдента [140, 209— 211]. Выбор вероятностного закона распределения производят по совпадению с линейной зависимостью между логарифмом вероятности разрушения и логарифмом числа циклов.

Экспериментально установлено, что в большинстве случаев распределение, логарифма чисел циклов хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения. Поэтому укажем порядок расчета при логарифмически нормальном распределении.

Построение кривых распределения долговечности (P — N) производится на вероятностной бумаге, соответствующей логарифмически нормальному закону распределения. По оси абсцисс откладываются значения долговечности образцов N, а по оси ординат — значения вероятности разрушения образцов (накопленные частоты), вычисленные по формулам P=(i—0,5)/я при п<ЙО и P = il'(n+l) при п>20,

56. Колмогоров А.Н. О логарифмически нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении //ДАН СССР. - 1941. -T.31.-N2.-С.99-102.

Формулы (2.2.45) и (2.2.46) очень удобны для вычисления tnp и?>/пр,. поскольку функции Я(/3) и MNZ найдены для большинства стандартных распределений. Так, для экспоненциального закона отказов Я (4) = =DN=Kta. В частности, используя данные табл. 1.4.1 в [23], из (2.2.45) и (2.2.46) при логарифмически нормальном распределении времени восстановления получаем

при логарифмически нормальном законе распределения; %а/2 и %о 5 — квантили

мальном или логарифмически нормальном законе распределения изучаемой харак-

При логарифмически нормальном распределении критерия (3.4), (3.5), (3.8),

4. Нагрузка и несущая способность распределены по логарифмически нормальному закону

Распределение пределов выносливости наиболее точно подчиняется логарифмически нормальному закону. Правомерно результаты опытов, обработанные под это распределение, потом аппроксимировать для последующих расчетов нормальным.

зованием сцинтилляционных детекторов, в том числе и дефектоскопов, в первую очередь определяется стабильностью параметров детекторов. Однако в двухканальном дефектоскопе, работающем по схеме измерения отношения напряжений или логарифма отношения двух напряжений, нет необходимости сохранять параметры фотоумножителей строго стабильными, достаточно поддерживать их одинаковыми. В дефектоскопе со схемой стабилизации питания ФЭУ контрольные импульсы расположены между импульсами излучения бетатрона. После разделения рабочих и контрольных импульсов последние, сравниваются по амплитуде и управляют напряжением питания одного из фотоумножителей таким образом, чтобы параметры обоих каналов измерения оставались одинаковыми. Электрические сигналы с детектора необходимо рассматривать как случайные величины. В случае радиоактивного источника случайной величиной является число импульсов за определенный промежуток времени, в случае регистрации тормозного излучения ускорителей — амплитуда импульса с детектора. В первом случае случайная величина распределена по закону Пуассона, во втором — по логарифмически нормальному закону. В том и другом случае с изменением измеряемого параметра (плотности или толщины) изменяется распределение сигнала на выходе детектора.

ультразвука; D — средний диаметр зерна. Распределение величины затухания, полученное при контроле изделия в различных точках, подчиняется логарифмически-нормальному закону и характеризует параметры распределения величин зерен исследуемого металла.

Кривая распределения долго- 0,05 вечности строится на вероятностной сетке. По оси абсцисс откладываются десятичные логарифмы долговечностей, а по оси ординат — вероятность в масштабе, соответствующем логарифмически нормальному закону распределения (рис. 30) или распределениям Вейбулла, Стъюдента [140, 209— 211]. Выбор вероятностного закона распределения производят по совпадению с линейной зависимостью между логарифмом вероятности разрушения и логарифмом числа циклов.

Построение кривых распределения долговечности (P — N) производится на вероятностной бумаге, соответствующей логарифмически нормальному закону распределения. По оси абсцисс откладываются значения долговечности образцов N, а по оси ординат — значения вероятности разрушения образцов (накопленные частоты), вычисленные по формулам P=(i—0,5)/я при п<ЙО и P = il'(n+l) при п>20,

Исследования показали, что в подавляющем большинстве случаев для анализа результатов усталостных испытаний может быть использован логарифмически нормальный закон распределения экспериментальных данных. В некоторых случаях приходится использовать порог чувствительности по циклам N0, вероятность разрушения до которого равна нулю. Если вместо случайной величины X=\gN{ ввести величину Xf=lg(N, — N0), то эта величина распределяется по логарифмически нормальному закону. Определение величины порога чувствительности по циклам может выполняться графически или аналитически [23].

При измерении затухания в тонкостенных изделиях наблюдают значительные изменения амплитуд сигналов на различных участках объекта контроля. Установлено, что распределение амплитуд, подчиняющееся логарифмически нормальному закону, характеризует параметры распределения величины зерен исследуемого материала. Числа зерен металла, встречающихся на

Многими исследователями установлено, что характеристики прочности материалов подчиняются нормальному (логарифмически нормальному) закону распределения (см., например, [59]). В связи с тем, что критерии прочности предназначены для описания сопротивления разрушению, параметр сгэкв и все коэффициенты уравнений должны подчиняться тому же закону распределения. Например, в уравнении типа (4.10) должны подчиняться логарифмически нормальному закону распределения

Следует отметить, что большинство исследователей сопоставляют акустические характеристики чугунов со средней длиной или диаметром графитных включений. Вместе с тем математическая обработка данных показывает, что кривые распределения графитных включений по размерам (рис. 57) могут иметь сложный характер и отличаются от нормальной кривой наличием «хвоста» в сторону больших размеров графитных включений. Характер распределения описывается законом, близким к логарифмически нормальному для серых чугунов и нормальному для высокопрочных. В первом случае значение средней арифметической не попадает в околомодальный интервал, а мода опережает среднюю арифметическую. Можно полагать, что ультразвуковой метод регистрирует преобладающее, т. е. модальное значение величины

На рис. 138 приведены эмпирические и выравненные по экс-потенциальному и логарифмически нормальному законам кри-