Локальных координатах

зом выбранной системе локальных координат («', и') отображение TI можно записать в виде

выбор функции перемещений в пределах элемента состоит в их параметрическом задании с помощью локальных координат — 1 • =

Производную ди/дх легко подсчитать с помощью матрицы Якоби, используемой для перехода от локальных координат к глобальным (производные dx/d^ dy/d^ прямо содержатся в матрице Якоби).

Решение указанных уравнений пограничного слоя представляет довольно трудную задачу. Поэтому естественно возникает вопрос, имеются ли случаи, для которых уравнения значительно упрощаются или даже сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Очень близко к этому подходит случай радиально-симметрич-ного потока при обтекании радиально-симметричного тела. Примером динамической двухмерной задачи является обтекание в осевом направлении вращающегося тела, в пограничном слое которого возникают только две компоненты скорости, зависящие от двух локальных координат. Как показал Манглер [2], расчет такого пограничного слоя можно полностью свести к плоской задаче.

выбор функции перемещений в пределах элемента состоит в их параметрическом задании с помощью локальных координат — 1 sS

Производную ди/дх легко подсчитать с помощью матрицы Якоби, используемой для перехода от локальных координат к глобальным (производные dx/d\, dy/d'g прямо содержатся в матрице Якоби).

Анализ напряженного состояния на основании линейной теории упругости показал, что напряжение у вершины трещины имеет особенность вида 1/У/% где г — расстояние от конца разреза. Коэффициент при этом члене, не зависящий от локальных координат при вершине трещины, называют коэффициентом интенсивности напряжений. В 1957 г. Ирвин сформулировал локальный (силовой) критерий разрушения: трещина распространяется тогда, когда коэффициент интенсивности напряжений достигает некоторого значения, постоянного для данного материала и заданных условий нагружения. Соответствующее критическое значение коэффициента интенсивности напряжений характеризует сопротивление материала развитию в нем трещин и часто называется параметром вязкости разрушения. Вместе с тем, поскольку интенсивность поля напряжений и де-

Чтобы обобщить результаты исследований плоских задач на трехмерный случай, необходимо определить напряженное состояние в окрестности криволинейного фронта трещины. Ирвин [52] постулировал, что для эллиптической трещины состояние в окрестности вершины (фронта) является состоянием плоской деформации, и вывел выражение для соответствующего коэффициента интенсивности напряжений К\. Позже гипотеза Ирвина была подвергнута проверке в работах [47,49], где было показано, что коэффициент интенсивности напряжений можно найти в виде некоторой функции локальных координат t, n, г, отсчитываемых по касательной и по перпендикулярам к фронту трещины, как показано на рис. 15; полное решение имеет вид

Определение локальных координат осуществляется аналогичным образом [36]. Если начала локальной и глобальной систем координат совпадают, то

Поскольку для однородного материала, свойства которого не зависят от координат точек тела, при получении матрицы жесткости положение начала координат несущественно, то такого преобразования всегда достаточно для определения локальных координат в плоскости элемента или в плоскости, параллельной ему.

Переход от локальных координат оболочки вращения к локальным координатам цилиндрической оболочки некругового сечения (см. подразд. 9.1) позволяет установить основные соотношения для расчетных фрагментов призматических оболочечных конструкций: цилиндрических оболочек (модели Кирхгофа—Лява и ломаной линии); прямолинейных стрингеров (модели Кирхгофа— Клебша, Тимошенко и теории упругости); упругих и вязкоупругих связей.

Предполагают, что температура /-го слоя р-го оболочечного элемента изменяется по линейному закону вдоль локальных координат «х и z оболочки. Это распределение температуры полностью определяется четырьмя ее значениями: Т1}-, Tzj — в начале и конце внутренней поверхности/-го слоя оболочечного элемента и T3j, Тц — в начале и конце внешней его поверхности.

В соответствии с (4.27), (4.28) в локальных координатах это уравнение записывается в виде

Матрица [К] по аналогии с методом Ритца представится аналогичным интегралом с той лишь разницей, что интеграл по объему будет вычисляться в локальных координатах. Следовательно,

где [/] — матрица Якоби, связывающая элемент длины в глобальных и локальных координатах:

Полученные матрица и вектор реакций для прямоугольного элемента записаны в локальной системе координат Q'xyz, так как компоненты обобщенных узловых усилий выражены в этих локальных координатах. Для составления разрешающей системы уравнений метода перемещений (4.8) необходимо произвести соответствующее преобразование к глобальным координатам Qx^Xg.

Выбор в качестве основного потока аналитически довольно простого «плоского потока с критической точкой», который описывается весьма точным решением полных уравнений Навье — Стокса в локальных координатах, удобен тем, что в результате мы получаем относительно простой закон вихревых возмущений. Этот закон является соответствующим видоизменением закона, полученного из более ранней : теории [1] неустойчивости пограничного слоя на вогнутых стенках.

Локальное напряжение в локальных координатах вычисляете в виде

и перейдем от интегрирования в координатах х\, х2, л'3 к интегрированию в локальных координатах , ц, t,. Тогда для составляющей интеграла /*(s) (12) будем иметь

где [kL] = аЙ11"!/*"1 [В ]Т [D ] [В ] hA — матрица жесткости конечного элемента в локальных координатах; h — его толщина. Полученная матрица жесткости [kL ] конечного элемента записана в локальной системе координат, так как компоненты сил и скоростей перемещений выражены в локальных координатах. Для составления ансамбля элементов и записи соответствующих уравнений равновесия необходимо выполнить преобразование к глобальным координатам.

в локальных координатах 12

— MR002 вычисления матрицы и вектора реакций треугольного элемента в локальных координатах для плоского напряженного состояния — Текст 441

— MR003 вычисления матрицы и вектора реакций треугольного элемента в локальных координатах для изгиба — Текст 442