Лагранжевы координаты

торое остается постоянным [67]. В псевдолагранжевых координатах основные уравнения сохранения выражаются в очень простой форме. .Читателям, интересующимся этим математическим вопросом, рекомендуем обратиться к монографии Куранта и Фридрихса [50], где подробно рассматриваются различные системы координат. В этой монографии не используется термин «псевдолагранжевы координаты», хотя в работах [66, 671 он применяется. Рассматриваемый вопрос освещается в монографии Куранта и Фридрихса [50, гл. 18].

Кратко рассмотрим понятие поля параметров. При анализе задач гидромеханики удобно определять параметры движущейся жидкости в зависимости от пространственных координат, и, следовательно, поле параметров определено, если в каждой точке пространства, занятого течением, известны значения этих параметров. Таким образом, например, функция p(x,y,z,t) определяет давление в точке Q(x, у, z) для частицы жидкости, попадающей в эту точку в момент времени t. В лагранжевых координатах давление отдельной частицы / определяется функцией pi = pj(t). Другими словами, при подходе Лагранжа не требуется задавать фиксированную систему координат, как при подходе Эйлера, поскольку система координат движется вместе с частицей. Основные законы движения жидкости справедливы только для системы, имеющей постоянную массу, как в подходе Лагранжа, но они выражаются в фиксированной системе координат, как в подходе Эйлера. Поэтому необходимо найти соотношение, связывающее оба этих подхода, и это соотношение

ству задачи. Когда же решается задача о течении, зависящем от двух и более пространственных координат, трудности, связанные с определением траекторий громадного количества отдельных частиц, становятся математически непреодолимыми, и следует отдать предпочтение подходу Эйлера. Для одномерной по пространству системы подход Лагранжа имеет явное преимущество, поскольку помимо того, что он позволяет проследить за движением отдельных слоев рабочего тела, при его использовании уменьшается число основных уравнений и число членов в оставшихся уравнениях. Это обусловлено в основном тем, что принцип сохранения массы выряжен в лагранжевых координатах.

[33—37]. В случае одномерных движений вещества преимущества разностных схем в лагранжевых координатах перед схемами в эйлеровых или эйлерово-лагранжевых координатах бесспорны. Если моделируются дву- или трехмерные нестационарные движения вещества, то методы в лагранжевых переменных остаются эффективными лишь в случае малых деформаций.

Снижение эффективности разностных методов в лагранжевых координатах в случае больших деформаций определяется принципиальным противоречием: лагранжевость требует, чтобы частицы были близкими всегда, а при больших деформациях частицы расходятся далеко друг от друга. Данный недостаток практически устраняется в методах,' допускающих смену соседних частиц. Это так называемые методы со Свободным лагранжевым соседством. Один из первых методов такого типа предложен в [38]. В его основе лежит идея описания свойств вещества в «свободных точках». Дальнейшее развитие методов со свободным лагранжевым соседством пошло по пути использования сеточных ячеек Дирихле. Впервые идея использования таких ячеек для аппроксимации свойств среды на плоскости была высказана Пастом и Уламом [39] и реализована в методиках «Медуза» [40] и ДМК [41]. Эти методики являются квазилагранжевыми, поскольку соседство ячеек Дирихле в них зафиксировано. Методики со свободным лагранжевым соседством^, на основе ячеек Дирихле предложены в [42, 43].

§ 1. Уравнения дннамики оболочки в лагранжевых координатах .

.2.2. Описание движения в лагранжевых координатах.......................... 26

1.2.2. Описание движения в лагранжевых координатах

Рис. 9. Схема к вычислению сдвиговой деформации (1.2.35) в лагранжевых координатах

Рис. 10. Схема к вычислению изменения объема в лагранжевых координатах

Подстановкой (1.2.41) в (1.2.28) и учитывая, что в лагранжевых координатах V®L =L ®V = TS, из (1 .2.40) получим

Лагранжевы координаты широко используются в теории упругости и нелинейной акустики.

а если использовать модифицированные лагранжевы координаты, тв> упростится и выражение для [KQ]. В этом случае, так как (Xu(^o)] = О (см (1.80)),

Х( — лагранжевы координаты;

где х (t), г (t) — лагранжевы координаты частиц и пузырьков соответственно; Д — возмущение радиуса пузырька; е — амплитуда вибрационных воздействий; Ф1, Ф2 и Ф3 — нелинейные функции, явный вид которых определяется в зависимости от конкретной формы движения несущей среды.

.На неизвестной заранее границе зоны контакта должны выполняться усл9вия сопряжения"решения в области контакта с решением в области, свободной от контакта. -Эти условия состоят В требовании непрерывности при переходе через границу функ- • цнй Xе'(х°); Y(x5°) и прадзв9дной функции Y по направлению нормали к контуру, ограничивающему зону контакта. Кроме того, должны, быть непрерывны левые части первых двух и последнего из .соотношений" (1.11). Как известно из линейной теории оболочек" и пластин [14, 48], условие непрерывности левой части предпоследнего соотношения в (1.11), т. е. непрерывности перерезывающей силы, не может быть удовлетворено в рамках теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа — Лява. '•"'-, 'Рассмотрим задачу о контакте двух деформируемых оболочек при отсутствии трения. Лагранжевы координаты первой и щторой оболочек обозначим соответственно ха, а. Для' каждой из оболочек фигурирующая в уравнениях равновесия нормальная составляющая нагрузки F состоит из заданного внешнего давления и реакции со стороны Соприкасающейся оболочки. Эту часть нормальной. нагрузки для- первой оболочки обозначим }>(/**), для второй—0(а). Неизвестными функциями в области контакта являются: ' ' ~ -

Формулы для отсчетной конфигурации оболочки с некоторой опорной поверхностью я, на которой введены лагранжевы координаты ха, получаются из (2.8) при Л > 0 и заменой прописных .букв на -строчные. ,

Координаты LI информируют о взаимном расположении материальных частиц т в начальный момент времени Го, а сами числа (значения координат) L, являются количественными характеристиками каждой такой частицы в любой момент времени. Эта информация инвариантна во времени. Образно говоря, множество координат L, как бы "вморожена" в движущееся тело М, и каждую изолинию L,= const в сплошной среде в любой момент времени t можно рассматривать как непрерьюное, упорядоченное геометрическое место материальных частиц, называемое материальным волокном (в дальнейшем - волокном). Каждая материальная частица т&Мнаходится на пересечении изопо-верхностей L, = const. Поэтому лагранжевы координаты L, обычно называют материальными координатами. Предполагается, что материальные частицы т в процессе движения не возникают и не исчезают. Поэтому для каждой такой частицы meAf справедлив закон сохранения вещества, который с помощью количественных характеристик LI этой частицы записывается аналогично виду закона сохранения массы (1.2.1)

Условия задачи позволяют записать лагранжевы координаты через высотные параметры

а остальные лагранжевы координаты вследствие соотношений h = = Н(Ег;Ез,) и b = b(Er,E2) - зависят только от эйлеровых координат. Тогда, используя функцию тока Ч* в виде (1.2.103), по формуле (1.2.104) дня объемного течения в декартовых координатах ?, имеем:

а остальные лагранжевы координаты L,, LP зависят только от эйлеровых координат. При этом /,, = ?,, а радиальную лагранжеву координату по аналогии с (1.2.1 1 1) представим в виде:

Таким образом, мы пришли к выводу, что любая корректировка лагранжевых координат Lk, построенная на них как На основном решении (1.2.216), в области движения композитной среды не приводит к необходимости построения новых полей скоростей в областях движения каждой составляющей такой среды. Физически это объясняется тем, что корректировка в (1.2.216) предполагает отсутствие разрывов кинематических параметров на поверхности S^, разделяющей а- и Р-среды. Однако в реальных условиях в общем случае такие разрывы допустимы. В этом случае скорректированные лагранжевы координаты в областях Ор следует представлять в виде: