Минимумом свободной

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОД - вариационный сеточный метод, являющийся,в свою очередь, проекционным методом при специальных координатных функциях. Область определения искомой функции в КЭМ разбивают на конечные элементы треугольники, четырехугольники, тетраэдры и т.п. Внутри каждого элемента задаются функции формы.произвольные функции с числом параметров, равным произведению числа узлов элемента на число условий в этих узлах. В качестве координатных функций применяют функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпадают с функциями формы. В 'КЭМ решение дифференциальных уравнений сводится к минимизации функционала, вследствие чего этот метод является вариационным. С другой стороны, КЭМ. является сеточным методом, т.к. исследуемую область разбивают на подобласти, образуя сетку. Повышенная точность схем КЭМ обусловлена добавлением не только узлов, расположенных на границах элементов, но и «внутренних» узлов.

Постоянные А^, а; (i = 1, ..., 4) определяются из условия минимизации функционала — потенциальной энергии деформации. Для их расчета в зависимости от физических и геометрических параметров задачи в работе [62] получены конечные формулы.

Для минимизации функционала (4.76) применялись последовательно два алгоритма — алгоритмы I и III (рис. 4.6 и 4.7). Алгоритм I предназначен для поиска точек области вариации пара-

Алгоритм минимизации функционала (5.146) для трех типов ТО можно описать следующим образом:

В качестве примера приведем 7 исследование напряженного деформированного состояния балки, изображенной на рис. 15.12. Задачу можно решить, исходя из минимизации функционала

Полученный результат может рассматриваться как иллюстрация замечания об эквивалентности статического и энергетического подходов к задаче о критической нагрузке (см. конец раздела 4). В приведенном примере энергетический критерий был применен к задаче, для которой и статический критерий позволял без осложнений получить точное решение. Обычно же к процедуре минимизации функционала (18.119) обращаются в тех случаях, когда интегрирование уравнения (18.120) связано с трудностями (например, если El =^= const или Л/ =т^= const). Увеличивая число членов в выражении (18.121), можно с любой степенью точ-ности определить критическую нагрузку. При этом существенно,

эквивалентные требованию минимизации функционала [5]

Предыдущими рассуждениями осуществлен незаметный переход от функций, зависящих от положения, к функциям времени. Покажем, что такой переход корректен. Для этого рассмотрим! задачу минимизации функционала

д) Комбинированные критерии. Уменьшение каждого из рассмотренных выше квадратичных функционалов означает повышение качества установившегося движения машины. Вместе с тем, как уже отмечалось, уменьшение одного из этих критериев качества может сопровождаться увеличением других. Поэтому естественно ставить задачу минимизации одного из критериев при ограничениях, накладываемых на другие. Известно, что это эквивалентно минимизации некоторого функционала, являющегося линейной комбинацией исходных функционалов с весовыми коэффициентами, зависящими от выбранных ограничений. Таким образом, мы приходим к комбинированным квадратичным критериям качества управления. Минимизация среднеквадратичной ошибки по скорости при ограничении динамической нагрузки в передаточном механизме эквивалентна минимизации функционала

Рассмотрим теперь задачу о минимизации функционала (21.11), соответствующую минимизации динамической ошибки при ограничении величины управляющего момента, прикладываемого к выходному валу двигателя. Сначала исследуем систему с жесткими звеньями. Положив в уравнениях (21.14) Аи = 0, будем искать периодическое управление t/U), минимизирующее функционал

Для системы с упругим передаточным механизмом составляем уравнение движения в форме (21.50), полагая Дм=0. При минимизации функционала

Диаграмма состояния показывает устойчивые состояния, т. е. состояния, которые при данных условиях обладают минимумом свободной энергии. Поэтому диаграмма состояния может также называться диаграммой равновесия, так как она показывает, какие при данных условиях существуют равновесные фазы. В соответствии с этим и изменения в состоянии, которые отражены на диаграмме, относятся к равновесным условиям, т. е. при отсутствии перенагрева или переохлаждения. Однако, как мы видели раньше, равновесные превращения, т. е. превращения в отсутствие переохлаждения или перенагрева, в действительности не могут совершаться (см. гл II), поэтому диаграмма состояния представляет собой теоретический случай, а в практике используется для рассмотрения превращений при малых скоростях нагрева или охлаждения.

В первом случае распад начинается при температуре вблизи точки / (для сплава /). Кристаллы ip-фазы образуются преимущественно на границах зерен, так как работа образования центра кристаллизации на границе зерна меньше, чем внутри зерна. Критический размер зародыша должен быть относительно большим, так как переохлаждение мало. Дальнейшее охлаждение должно привести к выделению новых кристаллов и к росту выделившихся. Образующиеся кристаллы ip-фа-зы не имеют определенной ориентации относительно исходной «-фазы, а внешняя форма их приближается к сфероиду, так как эта форма обладает минимумом свободной энергии. Кристаллы растут постепенно, атомы преодолевают энергетический барьер и на границе раздела а- и р-фаз один за другим встраиваются в решетку выделяющейся фазы.

Образование стабильной фазы приводит сплав к состоянию с минимумом свободной энергии. Однако, если новая стабильная фаза по составу или структуре кристаллической решетки сильно отличается от исходной, нередко возникает метастабильная фаза, которая по составу или структуре является промежуточной. Образование метастабильной фазы хотя и ведет к снижению свободной энергии системы, но оно не обеспечивает ее минимума. Несмотря на это, образование метастабильной фазы в ряде случаев кинетически более выгодно, так как она лучше сопрягается с решеткой исходной фазы и требует меньших флуктуации концентрации.

кристалла того же металла, обладающего минимумом свободной энергии. Поэтому границы между зернами никогда не служат признаком устойчивой равновесности структуры металла.

Поверхностный наклеп, возникающий при механической обработке, приводит к неоднородному структурно неустойчивому состоянию металла, самопроизвольно стремящемуся к возвращению металла в первоначальное состояние с минимумом свободной энергии (отдых). При обычных температурах отдых в поверхностных слоях жаропрочных сплавов протекает очень медленно, и только лишь при повышении температуры .до 700—900° С этот процесс ускоряется. Только при температуре рекристаллизации полностью снимается наклеп и восстанавливаются первоначальные свойства металла.

Если отношение чисел атомов разного вида равно отношению чисел узлов простых решеток упорядоченной структуры, возможно идеальное упорядоченное состояние. Если упорядоченное состояние отвечает минимуму энергии или энтальпии, то, как это будет показано далее, при температуре абсолютного нуля система приближается к абсолютному порядку. При температурах, отличных от абсолютного нуля, внутреннее равновесие системы определяется не минимумом энтальпии, а, скорее, минимумом свободной энергии F = Я—TS. Чем выше температура, тем большее значение имеет отрицательный член TS. Согласно Больцману, энтропия S непосредственно определяется степенью порядка и увеличивается с ростом последней. Поэтому минимум свободной энергии при любой температуре, большей абсолютного нуля, отвечает некоторой конечной степени беспорядка.

при определенной температуре минимумом свободной энергии. Воз-

П. Основной причиной аллотропического превращения является стремление сплава обладать минимумом свободной энергии, следовательно, чем ниже температура переохлажденного аустенита при изотермическом превращении, тем сильнее окажется его склонность к распаду.

Диаграмма состояния показывает устойчивые состояния, т. е. состояния, которые при данных условиях обладают минимумом свободной энергии. Поэтому диаграмма состояния может также называться диаграммой равновесия, так как она показывает, какие при данных условиях существуют равновесные фазы. В соответствии с этим и изменения в состоянии, которые отражены на диаграмме, относятся к равновесным условиям, т. е. при отсутствии перенагрева или переохлаждения. Однако, как мы видели раньше, равновесные превращения, т. е. превращения в отсутствие переохлаждения или перенагрева, в действительности не могут совершаться (см. гл II), поэтому диаграмма состояния представляет собой теоретический случай, а в практике используется для рассмотрения превращений при малых скоростях нагрева или охлаждения.

В первом случае распад начинается при температуре вблизи точки / (для сплава /). Кристаллы {5-фазы образуются преимущественно на границах зерен, так как работа образования центра кристаллизации на границе зерна меньше, чем внутри зерна. Критический размер зародыша должен быть относительно большим, так как переохлаждение мало. Дальнейшее охлаждение должно привести к выделению новых кристаллов и к росту выделившихся. Образующиеся кристаллы р-фа-зы не имеют определенной ориентации относительно исходной а-фазы, а внешняя форма их приближается к сфероиду, так как эта форма обладает минимумом свободной энергии. Кристаллы растут постепенно, атомы преодолевают энергетический барьер и на границе раздела а- и р-фаз один за другим встраиваются в решетку выделяющейся фазы.

Таким образом, если при перлитном превращении образуется система (феррит, цементит), находящаяся в устойчивом термодинамическом равновесии (т. е. стабильная система фаз), обладающая минимумом свободной энергии, то при мартенситном превращении образуется термодинамически неустойчивая (т. е. метастабильная) фаза, имеющая меньший по сравнению с аустенитом запас свободной энергии.

Образование стабильной фазы приводит сплав к состоянию с минимумом свободной энергии. Однако, если новая стабильная фаза по составу или структуре кристаллической решетки сильно отличается от исходной, нередко возникает метастабильная фаза, которая по составу или структуре является промежуточной. Образование метастабильной фазы хотя и ведет к снижению свободной энергии системы, но оно не обеспечивает ее минимума. Несмотря на это, образование метастабильной фазы в ряде случаев кинетически более выгодно, так как она лучше сопрягается с решеткой исходной фазы и требует меньших флуктуации концентрации.