Множества уравнений

Синтезирование при полном переходе из заданного конечного множества вариантов элементов технологического процесса сложнее. Такой перечень создается в виде множества возможных операций или переходов, а также их типовой последовательности.

Если из множества возможных плоских кинематических цепей выделить цепи, являющиеся структурными группами, то согласно формуле (2.1) они должны после присоединения их к стойке удовлетворить уравнению

бесчисленного множества возможных систем координат наиболее простыми и важными, чаще всего используемыми на практике являются лишь немногие. Сведения о большинстве из них можно найти в справочниках, а запомнить необходимо следующие системы координат:

Изменение степени неривыовесности' исходного состояния реакционной композиции позволяет 'управлять технологическими и функциональными свойствами материала. Начальные условия в таких системах определяют траекторию движения необратимой системы к равновесию или к одному из множества возможных стационарных состояний. При движении системы по разным траекториям возникают

На рис. 1.77 изображено построение равнодействующей /? системы трех параллельных сил F1, Fz, F3. Вектор /?12 представляет собой сумму FI и рг, а равнодействующая R найдена как сумма /?12 и /V Линия действия этой равнодействующей будет, очевидно, параллельна линиям действия сил системы. За точку приложения равнодействующей можно взять любую точку ее линии действия, но, оказывается, только одна из бесчисленного множества возможных точек приложения результирующей силы, обозначим ее буквой С, обладает особым свбйством. Свойство это состоит в следующем: если повернуть все силы системы в одном и том же направлении вокруг точек их приложения на некоторый угол а (не нарушая при этом параллельности), то равнодействующая повернется на угол а вокруг точки С и по-прежнему будет параллельна силам системы (рис. 1.77).

экраном. Цена деления 0,2 и 1 мкм, пределы измерений до 500 мм. ОПТИМИЗАЦИЯ (от лат. optimus -наилучший) - процесс нахождения экстремума (максимума или минимума) определ. ф-ции или выбора наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных. ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ - СВ-ВО нек-рых веществ, наз. оптически активными, вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через них света. О.а. обладают нек-рые кристаллы (в т.ч. и не обнаруживающие двойного лучепрелом-

Понятие оптимального решения подразумевает выбор варианта конструкции с наибольшим числом преимуществ (например, высокую надежность и быстродействие, малая масса и т. д.) и минимумом недостатков (например, низкий КПД, большие габариты и т. д.), т. е. речь идет о выборе наилучшего варианта среди множества возможных.

Мутации, т.е. случайные изменения некоторых аллелей, предназначены для реализации поиска в пространстве всех возможных экземпляров хромосом. Без мутаций поиск не может выйти за пределы того подмножества экземпляров хромосом, в котором аллели совпадают со сгенерированными значениями генов в начальной популяции. Например, если в некотором гене, отображающем дни недели, в хромосомах начальной популяции оказались сгенерированными только значения «понедельник», «среда», «четверг» и «воскресенье», то при выполнении операторов кроссовера или селекции значения «вторник», «пятница» и «суббота» появиться не могут. Мутации устраняют этот недостаток. Они происходят в очередном гене с некоторой заданной достаточно малой (сотые - тысячные доли) вероятностью Рн. При мутациях значение гена выбирается случайным образом среди множества возможных значений, т.е. в нашем примере произойдет равновероятный выбор среди всех семи возможных дней недели.

2. Сокращаются размеры поискового пространства, а следовательно, повышается эффективность поиска, выражаемая как точностью, так и скоростью приближения к искомому результату. Действительно, мощность множества возможных альтернатив в НСМ равна v", где v - число эвристик, и - число генов. В то же время, например, в одностадийной задаче синтеза расписаний, решаемой обычными генетическими методами, мощность множества альтернатив находится в диапазоне от и! до л 1-е", где с - число серверов. Конечно, набор эвристик в НСМ должен быть разумным, иначе экстремум может оказаться вне пределов сокращенного пространства.

При проектировании МА и АЛ новой конструкции требуется из множества возможных вариантов выбрать один, лучше других соответствующий поставленной цели и заданным условиям. Признак, дающий качественную оценку проектируемой системе, называют критерием эффективности, а процесс поиска наилучшего решения задачи —оптимизацией.

При решений этих задач используют методы технико-экономической оптимизации. На основе зависимостей расчета экономической эффективности разт рабатывают экономико-математическую модель СНК. Эта модель отражает изменение суммы приведённых затрат на создание и эксплуатацию контролируемого объекта в зависимости от изменений исследуемых основных параметров СНК. Путем решения и перебора на ЭВМ множества возможных вариантов определяют общий суммарный минимум приведенных затрат, при котором значения исследуемы» параметров СНК, обеспечивающих! этот минимум, принимают за оптимальные. Методы технико-экономической оптимизации используют при выборе оптимальных значений чувствительности вихретоковой дефектоскопической аппаратуры при контроле поверхности проката, оптимальных типов источников излучений в гамма-дефектоскопии и рациональных периодов их замены, оптимальных режимов и типов высокоэнергетическия источников излучений радиационного контроля и др.

В соответствии с определением в п. 1.1.4 математическая постановка краевых задач МСС включает запись замкнутого множества уравнений и краевых условий. Для выполнения первой части постановки задачи необходимо сначала установить перечень независимых параметров, которые определяют НДС деформируемого тела. В эйлеровых координатах такими параметрами являются лагранжевы координаты (1.2.9), с помощью которых можно рассчитать тензор напряжений (1.5.13). Если принять во внимание, что якобиан (1.2.20) и вспомогательный вектор D(L,) (1.2.94) также определяются законом движения (1.2.9), то становится очевидной зависимость вектора скорости в (1.2.95) от лагранжевых координат. Опуская промежуточные уравнения связи якобиана (1.2.20) и вспомогательного вектора D (1.2.94) с ла-гранжевыми координатами для трехмерного движения, устанавливаем, что в основных уравнениях (1.5.13) и (1.2.95) девять скалярных уравнений включают двенадцать скалярных неизвестных величин: a*; L,; Vt. Для замыкания множества необходимо вспомнить, что тензором напряжения может быть не любой тензор второго ранга, а лишь тот, который удовлетворяет уравнению движения (1.4.16). Однако в этом уравнении имеется дополнительная неизвестная величина - плотность р. Теперь двенадцать скалярных уравнений включают тринадцать неизвестных величин и множество уравнений не является пока замкнутой. Для замыкания множества добавим еще одно скалярное уравнение неразрывности среды (1.2.143), связывающее плотность и скорость и не вносящее дополнительных неизвестных величин. Полученное замкнутое множество уравнений будем называть основным множеством (табл. 4).

Из теории дифференциальных уравнений известно, что при интегрировании множества дифференциальных уравнений, содержащих производные искомой функции одного аргумента наивысшего порядка п, их общее решение зависит от п констант интегрирования. При интегрировании замкнутого множества уравнений, связанного с постановкой краевой задачи, количество таких констант зависит от наивысшего порядка производных по времени t и наивысших порядков производных по эйлеровым координатам Е,. Общее количество соотношений в краевых условиях должно быть равно общему количеству констант интегрирования. Причем эти условия могут быть заданы как для самих параметров, входящих в множество, так и для производных параметров по аргументам порядка не выше и -1.

Исходя из изложенного, подсчитаем количество соотношений в краевых условиях, необходимых для определения констант интегрирования основного замкнутого множества уравнений (табл. 4). Проще всего это можно сделать путем последовательных подстановок уравнений (1.5.13), (1.2.92), (1.4.5) основного множества в (1.4.16), приводящих множество четырех тензорных уравнений к одному тензорному уравнению. Тогда относительно лагранжевых координат Lk полученное дифференциальное уравнение будет содержать производные второго (наивысшего) порядка по времени Г и по эйлеровым Е, координатам. Значит в ДГ-мерном эйлеровом пространстве количество констант интегрирования л = 2(1 +N). Это же число определяет количество необходимых соотношений в краевых условиях. При этом отмечаем, что две константы были связаны с интегрированием по времени. Значит начальные условия должны содержать два соотношения. Одно из них определяет значение лагранжевых координат в начальный момент времени Г = Го, когда

Совокупность всех величин, характеризующих значения кинематических и статических параметров в начальный момент времени и на границе области движения среды, называется механическими краевыми условиями. Различные варианты записи механических краевых условий для параметров основного множества уравнений приведены в табл. 6.

При расширении основного множества уравнений введением дополнительных уравнений и параметров движения среды для последних также записываются краевые условия, если эти условия не являются следствием механических краевых условий основного множества уравнений (табл. 6). Так, при добавлении к основному множеству (табл. 4) уравнений (1.2.4) могут быть использованы краевые условия (табл. 6), либо краевые условия основного множеств в перемещениях (табл. 7), где в отличие от табл. 6 вместо С-, ННТС- и КННС-условий в скоростях используются IJ-, HHTIJ- и КННП- условия в перемещениях соответственно. Условия табл. 7 применяются при решении основного множества уравнений в перемещениях (табл. 5).

Таблица 7. Механические краевые условия основного множества уравнений в перемещениях

Приведенная выше математическая постановка краевых задач является общей, если учесть, что, как отмечалось ранее, к основному замкнутому множеству уравнений с необходимыми краевыми условиями всегда, когда требуется, можно добавить уравнения с соответствующими краевыми условиями без нарушения замкнутости получаемого при этом множества уравнений.

ловия основного множества уравнений (табл. 6), в которых статические параметры исключаются с помощью соответствующих рассматриваемым средам определяющих уравнений.

При решении некоторых задач МСС, например, теории упругости, кинематическую постановку удобно осуществлять в перемещениях. Она фактически сводится к замене лагранжева вектора L вектором перемещения с помощью (1.2.4) во всех уравнениях основного множества уравнений табл. 5 или в уравнении (1.5.28) и в краевых условиях, где статические параметры заменяются с помощью определяющих уравнений типа (1 .5.30) на кинематические параметры.

Сравнение (2.1.41) с ранее полученным путем интегрирования замкнутого множества уравнений решением (1.5.116) показывает, что боковые компоненты тензора напряжений одинаковы, а остальные параметры напряженного состояния совпадают структурно, Окончательный вид этих параметров зависит от значения неизвестного коэффициента а\. По существу а\ определяет уровень прикладываемых к движу-

В этом уравнении равновесия содержится три неизвестные величины аз, р" и т". Для замыкания множества уравнений необходимо восполь-