Множеству реализаций

Запишем систему уравнений (3.1) в матричном виде. Если D= I :d — множество уравнений (дифференциалов), а Z = 1 : 2 — множество неизвестных переменных (звеньев), то для матрицы коэффициентов и вектора неизвестных системы уравнений (3.1) удобно ввести следующие обозначения:

Уравнения вида (17) или (20) можно записать для систем, включающих массивные 'ооъемнне трехмерные) проводники. «Электрическая» группа будет содержать при эюм счетное множество уравнений (т= °о) [10, гл. VII].

Имеется множество уравнений, описывающих отдельные процессы в выпарных установках, например системы уравнений тепловых и материальных балансов И. А. Тищенко и других авторов, системы уравнений, примененные Н. И. Гельпериным, уравнения Г. Н. Кос-тенко для расчета процессов снижения производительности установки в связи с накипеобразованиями. Получены математические модели для расчета динамики изменения некоторых параметров одноступенчатого выпарного аппарата (уравнения А, Г. Левачева, Джонсона и Лея). Однако отсутствует достаточно полное математическое описание МВУ, позволяющее получать математические модели различных выпарных установок.

В соответствии с определением в п. 1.1.4 математическая постановка краевых задач МСС включает запись замкнутого множества уравнений и краевых условий. Для выполнения первой части постановки задачи необходимо сначала установить перечень независимых параметров, которые определяют НДС деформируемого тела. В эйлеровых координатах такими параметрами являются лагранжевы координаты (1.2.9), с помощью которых можно рассчитать тензор напряжений (1.5.13). Если принять во внимание, что якобиан (1.2.20) и вспомогательный вектор D(L,) (1.2.94) также определяются законом движения (1.2.9), то становится очевидной зависимость вектора скорости в (1.2.95) от лагранжевых координат. Опуская промежуточные уравнения связи якобиана (1.2.20) и вспомогательного вектора D (1.2.94) с ла-гранжевыми координатами для трехмерного движения, устанавливаем, что в основных уравнениях (1.5.13) и (1.2.95) девять скалярных уравнений включают двенадцать скалярных неизвестных величин: a*; L,; Vt. Для замыкания множества необходимо вспомнить, что тензором напряжения может быть не любой тензор второго ранга, а лишь тот, который удовлетворяет уравнению движения (1.4.16). Однако в этом уравнении имеется дополнительная неизвестная величина - плотность р. Теперь двенадцать скалярных уравнений включают тринадцать неизвестных величин и множество уравнений не является пока замкнутой. Для замыкания множества добавим еще одно скалярное уравнение неразрывности среды (1.2.143), связывающее плотность и скорость и не вносящее дополнительных неизвестных величин. Полученное замкнутое множество уравнений будем называть основным множеством (табл. 4).

щения U, (1.2.4) или (2.1.70) для расчета тензора деформации TL или Те, (1:2.137) для расчета тензора скоростей деформаций Т^. Вместе с основным множеством перечисленные уравнения образуют новое замкнутое множество уравнений, содержащее 28 скалярных уравнений и такое же количество скалярных неизвестных, которое используется в математической постановке изотермических задач ТП. Для неизотермических процессов к этим уравнениям следует добавить уравнение теплопроводности (1.4.61), в котором все теплофизические параметры должны быть заданы. В этом случае к 28 неизвестным величинам добавляется температура 0 и замкнутое множество содержит 29 скалярных уравнений.

При решении некоторых задач МСС основное множество уравнений удобно записывать не через вектор скорости V, как это показано в табл. 4, а через вектор перемещения U. В этом случае в основном множестве остается уравнение (1.5.13), а уравнения (1.2.92) и (1.4.5) (табл. 4) заменяются уравнениями (1.2.4) и (1.2.145) соответственно. При этом последнее уравнение необходимо переписать в эйлеровых координатах. Интегрируя (1.2.145), имеем р!ь = с. Для определения константы с воспользуемся начальными условиями: при t = to величины JL = 1 и р = ро(?*). Теперь (1.2.145) можно переписать в виде

Кроме того, в уравнении движения (1.4.16) вместо вектора скорости нужно записать его значение, рассчитываемое по формуле (1.2.90). Окончательно получаем основную замкнутое множество уравнений в перемещениях (табл. 5).

Таблица 5. Основное множество уравнений в перемещениях

Теперь основное замкнутое множество уравнений (табл. 4) может быть представлена в виде, приведенном в табл. 9. В этом множестве для изотропных сред определяющее уравнение (1.5.3) заменяется соотношением (1.5.12).

Таблица 9. Замкнутое множество уравнений к математической постановке задач в скоростях

Подстановкой (2.1.59) в (2.1.60) получаем замкнутую относительно варьируемых параметров а„ множество уравнений

Стационарные случайные процессы, которые обычно встречаются в технических приложениях, часто обладают свойством эргодичности. Важной особенностью эргодичных случайных процессов является то, что при вычислении их характеристик возможна замена осреднения по множеству реализаций осреднением по времени одной достаточно длительной реализации [9]

Наряду с числовыми характеристиками случайного процесса, полученными осреднением по множеству реализаций, рассматривают характеристики, полученные осреднением по времени не-

Наряду с числовыми характеристиками случайного процесса, полученными осреднением по множеству реализаций, рассматривают характеристики, полученные осреднением по времени не-

Рассмотрим стационарную случайную функцию X (t), обладающую эргодическим свойством, т. е. такую, что ее моментные характеристики (математическое ожидание, дисперсия, корреляционная и дисперсионная функция и т. д.) могут быть определены не по множеству реализаций X (t), а по одной реализации достаточно большой длины. Моментные характеристики случайной функции X (t), обладающей эргодическим свойством, полученные путем осреднения по множеству реализаций X (t), равнвд моментным характеристикам, полученным путем осреднения по аргументу t (по времени, если аргумент t — время наблюдения случайной функции X (f); по длине, если t — длина детали и т. д.). Характеристики стационарной эргодической случайной функции X (f) определяют по одной ее реализации путем осреднения X (t) по области Т изменения аргумента t по следующим приближен-' ным формулам:

В результате принцип ориентировочной оценки обусловленности расположения преобразователей и компенсаторов в случайном влияющем поле формулируется как требование минимизации произведения числа этих элементов п на частное от деления наибольшего члена фиксируемой матрицы параметров влияющего поля, определенной по множеству реализаций, на минимальный диагональный член той же матрицы.

При анализе случайных функций обычно используется предположение об эргодичности изучаемых процессов. Процесс называют эргодическим по отношению к какой-либо его характеристике (математическое ожидание, дисперсия), 'если ее значение по множеству реализаций совпадает со значением по множеству значений аргумента. Свойство эргодичности позволяет оценивать выборочные характеристики случайной функции по одной реализации. Для стационарных временных рядов оценкой М[У(^)] будет среднее арифметическое значение

Величины хх и х2 относятся к одной и той же реализации процесса, а интегрирование (суммирование) проводится по множеству реализаций. Если рассматриваются значения одной и той же случайной функции, но в различные моменты времени, то функция Кх (^1» ^2) называется автокорреляционной или просто корреляционной. Если значения tx и i2 совпадают, то корреляционная функция становится равной дисперсии случайной функции:

20. Юшин В. Ю. О погрешности, вызванной разбросом начал отсчета при осреднении по множеству реализаций — Автометрия. 1966, № 4, с. 15—\ъ.

Моментиые функции случайного процесса. Составляя произведения значений функции U (f) при различных t и производя осреднение по множеству реализаций, получим последовательность моментных функций

Эргодические случайные процессы. Стационарный случайный процесс называют эргодтеским, если одна его реализация содержит всю информацию о вероятностных свойствах процесса. Эргодические процессы выявляют свои свойства не только на множестве реализаций, но и во времени. Важной их особенностью является возможность замены осреднения по множеству реализаций осреднением по времени. В частности,

Момеитные функции многомерного процесса. Последовательность моментных функций векторного случайного процесса U (t) получается перемножением значений компонентов вектора U (t) при различных t и осреднением по множеству реализаций'