Моментные соотношения

Отметим, что моментные характеристики сечений определяют путем интегрирования только для сечений простой формы. Для определения моментных характеристик сечений сложной формы поперечные сечения представляют в виде суммы сечений» для которых геометрические характеристики известны.

После нахождения моментных характеристик амплитуды аналогичным путем определяются моментные характеристики фазы.

Нахождение корреляционной функции фазы проводится аналогично, путем использования второго уравнения (7); при этом амплитуда и ее моментные характеристики будут входить в число известных параметров.

Такой подход тем более необходим при исследовании сложных гидродинамических процессов в проточной части на режимах, далеких от расчетного; при этом суммарные силовые и моментные характеристики дают базу для расчета переходных процессов, а данные зондирования позволяют выяснить причины значительного отклонения характеристик от характеристик зоны эксплуатационных режимов и разработать наиболее достоверные способы учета влияния неустановившегося движения жидкости.

Чтобы проследить за изменением структуры потока, определяющего моментные характеристики ротора, рассмотрим изменение интегральных величин, которые входят в выражение (4), вдоль линии М/ = 0 и п/ = = const при ф = const (см. режимы на рис. 2, а). Значения интегралов приведены в табл. 1; здесь же даны отдельные составляющие момента. Данные относятся к турбине с диаметром рабочего колеса Dt = 0,46 м, работающей при напоре Н = 1 м. Интегрирование проведено численным способом. Момент Мт, связанный с подкручиванием потока рабочим колесом, определялся по экспериментальным значениям момента на валу Ме или момента на колесе vVL.

В связи с этим обстоятельством в ряде случаев целесообразно использовать другие подходы к оценке точности результатов, полученных методами статистической линеаризации. В работе [85] предложен метод обобщенной статистической эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева—Эрмита случайных функций и позволяющий определить (в общем случае приближенно) высшие моменты этих функций в нелинейной системе. В этом методе искомые коэффициенты линеаризации вычисляются с помощью дополнительных коэффициентов, характеризующих разложение произвольных законов распределения вероятностей в ортонормиро-ванный ряд. В первом приближении закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента предполагается нормальным. Исходя из принятой гипотезы вычисляют моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитывают их для входа нелинейного элемента. По этим моментам восстанавливают плотность вероятностей входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятностей отлична от нормальной, то расчет повторяют уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Обобщением основных разновидностей всех перечисленных типов числовых характеристик являются моментные характеристики. Наконец, обобщением совокупностей моментных характеристик являются производящие и характеристические функции.

2.7. МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

5.5. ЧИСЛОВЫЕ И МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВЯЗИ

Иногда на графиках, изображающих линии регрессии, полезно нанести пунктиром по две, в каждой точке одинаково от них отстоящие вверх и вниз, линии условных средних квадратических отклонений. При постоянстве условных средних квадратических отклонений линии, их изображающие, конгруентны линиям регрессий (получаются путем вертикального сдвига линии регрессии F по х на величину a\Ylx] = const и горизонтального сдвига линии регрессии X по у на величину а {Х/у} =, const). В последнем случае линии условных средних квадратических отклонений обычно на график не наносятся. Линии условных средних квадратических отклонений характеризуют форму -скедастической зависимости. Как и в случае одномерных случайных величин, обобщением числовых характеристик являются моментные характеристики. Кроме рассмотренных в п. 2.7 моментов, относящихся к одной случайной величине, существенное значение для теории вероятностных зависимостей между величинами имеют смешанные моменты, относящиеся к случайным величинам, связанным вероятностной зависимостью.

Рассмотрим стационарную случайную функцию X (t), обладающую эргодическим свойством, т. е. такую, что ее моментные характеристики (математическое ожидание, дисперсия, корреляционная и дисперсионная функция и т. д.) могут быть определены не по множеству реализаций X (t), а по одной реализации достаточно большой длины. Моментные характеристики случайной функции X (t), обладающей эргодическим свойством, полученные путем осреднения по множеству реализаций X (t), равнвд моментным характеристикам, полученным путем осреднения по аргументу t (по времени, если аргумент t — время наблюдения случайной функции X (f); по длине, если t — длина детали и т. д.). Характеристики стационарной эргодической случайной функции X (f) определяют по одной ее реализации путем осреднения X (t) по области Т изменения аргумента t по следующим приближен-' ным формулам:

Рассмотрим, например, моментные соотношения, соответствующие системе (1.52) и уравнению (1.53) для стационарного случая (dpJdt = 0) при F (и) = си + Ьиэ:

Предположим для определенности, что спектральная плотность стационарного случайного воздействия q (t) является дробно-радиональной функцией. Тогда на основании уравнения движения типа (1.88) можно вывести моментные соотношения любого порядка. Для этого можно использовать уравнения теории марковских процессов (см. § 1,5) или другие классические методы. В третьей главе данной книги показано применение корреляционного и спектрального методов вывода моментных соотношений в задачах с произвольными нелинейными функциями, в том числе неаналитическими .

Моментные соотношения записывают на основании уравнений движения при помощи соответствующего уравнения Колмогорова. Все выкладки аналогичны одномерному случаю.

Очевидно, что моментные соотношения при выбранном типе нелинейных функций имеют рациональную структуру относительно фазовых переменных и образуют бесконечную связанную систему уравнений. С учетом этого расширенный функционал энтропии можно записать в общей форме:

где С — нормировочная постоянная; Xft — неопределенные множители Лагранжа. Подставляя (2.52) в моментные соотношения (2.51), получим

Принцип максимума энтропии стационарного состояния динамической системы под действием случайных сил приводит, как показано выше, к изопериметрической вариационной задаче. В качестве дополнительных условий выступают моментные соотношения, образующие в общем случае бесконечную связанную систему уравнений. Для . построения приближенного решения естественно использовать последовательность усеченных систем.

Запишем моментные соотношения для переменных хг, xz. Для этого умножим левую часть (3.7) последовательно на х\,

Для построения такой оценки используем высшие моментные соотношения, не включенные в формулировку условной вариационной задачи. Будем контролировать рассогласование в этих моментных соотношениях, т. е. среднюю квадратическую невязку на каждом этапе приближения.

моментные соотношения, которые получаются для системы

где и — математическое ожидание; иг (f) — гауссовский . центрированный процесс с неизвестной дисперсией а\. С учетом гипотезы (3.69) моментные соотношения приводим к следующей форме:

Моментные соотношения для нелинейных стохастических систем