Моментных соотношений

Отметим, что моментные характеристики сечений определяют путем интегрирования только для сечений простой формы. Для определения моментных характеристик сечений сложной формы поперечные сечения представляют в виде суммы сечений» для которых геометрические характеристики известны.

Из выражений для моментных характеристик следует, что их количественные значения зависят от положения осей координат. Нетрудно показать, что при параллельном пе-рёносе осей координат между моментами инерции существует связь (рне. 12.10)

Параметры мощности для установившегося равномерного движения удобно определять посредством моментных характеристик, дающих зависимость приведенных моментов сил движущих M*(co) или моментов сил сопротивления М1((я) от скорости со звена приведения. В качестве примера на рис. 11.3 представлена моментная характеристика турбовоздуходувки с двигателем. Пересечение кривых Мд(со) и УИс(со) в точке а соответствует параметрам установившегося движения. Работающий агрегат автоматически приходит в эту точку, так как если он работает в режиме, соответствующем точке Ь, где, М*я > М*с, то со будет возрастать до момента, когда Мд = Мс. Если же агрегат работает в режиме, соответствующем точке с, где М'л < М'с, то со будет уменьшаться также до момента,

После нахождения моментных характеристик амплитуды аналогичным путем определяются моментные характеристики фазы.

Задачей расчета переходного процесса является определение необходимых при конструировании динамических силовых и моментных характеристик для какого-либо режима регулирования гидроагрегата. Эта задача может быть решена достаточно точно в случае, если существуют экспериментальные характеристики равновесных переходных режимов, т. е. статические характеристики гидротурбины в широком диапазоне режимов.

Анализ статических моментных характеристик ротора

Обобщением основных разновидностей всех перечисленных типов числовых характеристик являются моментные характеристики. Наконец, обобщением совокупностей моментных характеристик являются производящие и характеристические функции.

Обработку реализаций входной X (f) и выходной Y (f) случайных функций обычно начинают с определения моментных характеристик этих функций. Для этого реализации X (t) и Y (f) представляют в виде

Удобным способом расчета Чщенок моментных характеристик является способ, основанный на построении корреляционной таблицы (табл. 10.1).

Сложность раздельного исследования перечисленных факторов очевидна, поэтому экспериментально удается, как правило, получить лишь интегральные характеристики ступеней. Расшифровка составляющих потерь и составление их баланса ведутся с помощью теоретических расчетных методов и некоторых косвенных экспериментальных исследований. К таким исследованиям, проведенным в МЭИ, следует отнести определение моментных характеристик ступеней, полученных на перегретом, насыщенном и влажном паре (при начальной дисперсности жидкой фазы й?м»60-10-6 м) в широком диапазоне изменения отношения и/Со (от 0 до 0,7).

Анализ моментных характеристик при переменных значениях и/с0 позволил определить и третий вид потерь от влажности — потери на удар капелек воды о рабочие лопатки. На рис. 5-2 представлена зависимость потерь на удар от отношения и/Со при переменных значениях влажности г/о. Обработка опытных данных в координатах ^уд/г/о, и/Со показала, что точки ложатся около одной кривой. Таким образом, подтверждается очевидный

§ 1.5. Метод моментных соотношений

До сих пор метод редукции бесконечных систем моментных уравнений использовался в основном при решении стохастических задач устойчивости [2], в которых исходные уравнения не содержат собственно нелинейных функций. Однако вопросы сходимости результатов метода редукции до сих пор исследованы недостаточно. Так, в работе 12 ] указано, что начиная с некоторого порядка усеченных систем, приближенные значения критических параметров образуют расходящуюся последовательность. .Таким образом, метод редукции моментных соотношений для нелинейных динамических систем целесообразно применять при не слишком высоком уровне замыкания усеченных систем.

Рассмотрим примеры применения метода моментных соотношений. Движение безмассовой системы под действием сил типа белого шума описывается дифференциальным уравнением первого порядка и -f F (и) = '? (/), где F (и) — нелинейная функция; ? (t) — дельта-коррелированный случайный процесс с интенсивностью s. Прямое уравнение Колмогорова для плотности р (и, t) имеет вид

Предположим для определенности, что спектральная плотность стационарного случайного воздействия q (t) является дробно-радиональной функцией. Тогда на основании уравнения движения типа (1.88) можно вывести моментные соотношения любого порядка. Для этого можно использовать уравнения теории марковских процессов (см. § 1,5) или другие классические методы. В третьей главе данной книги показано применение корреляционного и спектрального методов вывода моментных соотношений в задачах с произвольными нелинейными функциями, в том числе неаналитическими .

Основной целью разрабатываемой методики является получение приближенных решений при помощи прямых методов для конечного, не слишком большого числа моментных соотношений. В этом случае задача об условном максимуме энтропии не вырождается*!! формулируется по существу как изопериметриче-ская задача вариационнопГисчисления.g^

Фактически область применимости вариационного принципа в стохастических задачах динамики механических систем более широка, так как здесь, как и в статистической физике, не используется марковское свойство рассматриваемых процессов. Для вывода моментных соотношений, помимо уравнений типа Колмогорова, мбгут быть использованы и другие методы. В гл. 4 показано применение спектрального и корреляционного способов составления уравнений относительно моментных функций для нелинейных систем.

Система моментных соотношений

Существенной особенностью предложенного вывода является замена бесконечной системы уравнений (2.54) относительно неопределенных множителей Лагранжа ?ife одним соотношением (2.55), которое получается путем суммирования по п. Такая замена приводит к значительному расширению класса дополнительных условий, включаемых в формулировку вариационной задачи о максимуме функционала энтропии. Из рассмотренных примеров следует, что выполнение всех моментных соотношений • является достаточным условием, при котором решение вариационной задачи однозначно определяет распределение, соответствующее заданной системе моментов.

Система моментных соотношений имеет вид

вариационных задач приближенными методами мы не располагаем бесконечной системой моментных соотношений. Поэтому трудности, связанные с суммированием бесконечных рядов, здесь отсутствуют.

В рассмотренных примерах моментные уравнения, которые имеют интегральную форму, удовлетворялись путем приравнивания к нулю подынтегральных выражений перед множителем типа ехр / — S^/e-x^V не равным нулю. Это соответствует достаточному условию существования решения. Если же число моментных соотношений ограничено, то для получения замкнутой системы уравнений относительно множителей Лагранжа необходимо интегральное выполнение каждого дополнительного условия. По-видимому, такой способЪбеспечивает необходимые условия существования решения. Однако строгого доказательства необходимости и достаточности моментных уравнений для получения решения вариационной задачи здесь не найдено.