Моментная характеристика

До сих пор метод редукции бесконечных систем моментных уравнений использовался в основном при решении стохастических задач устойчивости [2], в которых исходные уравнения не содержат собственно нелинейных функций. Однако вопросы сходимости результатов метода редукции до сих пор исследованы недостаточно. Так, в работе 12 ] указано, что начиная с некоторого порядка усеченных систем, приближенные значения критических параметров образуют расходящуюся последовательность. .Таким образом, метод редукции моментных соотношений для нелинейных динамических систем целесообразно применять при не слишком высоком уровне замыкания усеченных систем.

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которрго сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х).

В рассмотренных примерах моментные уравнения, которые имеют интегральную форму, удовлетворялись путем приравнивания к нулю подынтегральных выражений перед множителем типа ехр / — S^/e-x^V не равным нулю. Это соответствует достаточному условию существования решения. Если же число моментных соотношений ограничено, то для получения замкнутой системы уравнений относительно множителей Лагранжа необходимо интегральное выполнение каждого дополнительного условия. По-видимому, такой способЪбеспечивает необходимые условия существования решения. Однако строгого доказательства необходимости и достаточности моментных уравнений для получения решения вариационной задачи здесь не найдено.

Первое слагаемое в правой части (4.4) обращается в нуль при подстановке пределов.. В итоге получаем систему моментных уравнений следующего вида:

Важной особенностью" спектрального'^метода является возможность его обобщения на двумерные и трехмерные случайные поля, не поддающиеся описанию при помощи соотношений теории марковских процессов. Кроме того, гипотеза о гауссовском характере спектров исследуемых процессов снимается при вариационном методе решения нелинейных задач. Сочетание вариационного подхода со спектральным методом вывода моментных уравнений будет продемонстрировано ниже на конкретном примере.

Спектральное представление типа (4.57) может быть использовано для составления моментных соотношений в нестационарных нелинейных задачах статистической динамики. Рассмотрим вначале гауссовское приближение, т. е. примем, что спектры U (со) обладают свойствами гауссовских функций. Как и в стационарных задачах, вывод моментных уравнений основан на операции свертывания случайных спектров.

§ 4.4. Корреляционный метод вывода моментных уравнений

Построение границ областей устойчивости путем редукции бесконечной системы моментных уравнений связано с большими аналитическими и вычислительными трудностями для систем с расширенным фазовым пространством. Это обусловлено, во-первых, неоднозначностью способов замыкания усеченных систем. При помощи гипотезы квазигауссовости старшие моменты можно выразить через различные сочетания младших моментов. Редуцированная система становится при этом нелинейной; ее линеаризация не всегда может быть обоснована. Во-вторых, системы уравнений устойчивости при высоком уровне замыкания, как правило, имеют слабо обусловленные матрицы, что существенно усложняет вычисления. Это, по-видимому, явилось причиной расходимости результатов с повышением уровня замыкания [2].

Флуктуации коэффициента постели будем по-прежнему полагать случайной стационарной функцией гауссовского типа с дробно-рациональной спектральной плотностью. Будем искать решение уравнения (6.44), удовлетворяющее некоторым условиям закрепления балки при к = 0. Воспользуемся для решения поставленной задачи методом моментных уравнений, вывод которых в одномерном случае можно осуществить на основе соотношений теории марковских процессов с непрерывным временем t = х.

ы"'«22 ... МБ" и интегрируя по переменным ы/, получим в общем случае систему моментных уравнений:

Эти соотношения позволяют вычислить константы Л0, Лх и получить исчерпывающие сведения о моментах второго порядка на принятом уровне замыкания моментных уравнений.

Параметры мощности для установившегося равномерного движения удобно определять посредством моментных характеристик, дающих зависимость приведенных моментов сил движущих M*(co) или моментов сил сопротивления М1((я) от скорости со звена приведения. В качестве примера на рис. 11.3 представлена моментная характеристика турбовоздуходувки с двигателем. Пересечение кривых Мд(со) и УИс(со) в точке а соответствует параметрам установившегося движения. Работающий агрегат автоматически приходит в эту точку, так как если он работает в режиме, соответствующем точке Ь, где, М*я > М*с, то со будет возрастать до момента, когда Мд = Мс. Если же агрегат работает в режиме, соответствующем точке с, где М'л < М'с, то со будет уменьшаться также до момента,

Практический интерес представляет и моментная характеристика гидромотора, являющаяся графической зависимостью крутящего момента на валу гидромотора от частоты вращения его вала при постоянных давлении и частоте вращения вала питающего насоса. Такая характеристика особенно полезна при расчетах и настройке объемного гидропривода с машинным управлением. Возможное изменение --момента на валу гидромотора, в зависимости от типа управления гидромотора и питающего насоса, будет рассмотрено в гл. 13.

а — моментная характеристика; б — силовая харак

Рис. 5. Полная приведенная моментная характеристика модели агрегата

велики, вся мощность двигателя может оказаться расходуемой на колебания, и двигатель не окажется способным «провести» вал через критическую скорость. В таких случаях имеет место «застревание» вала на критической скорости (так называемый эффект Зоммерфельда). Для численного подсчета мощности, потребной для перехода через критическую скорость, используется моментная характеристика двигателя, т. е. зависимость передаваемого крутящего момента L от скорости вращения ф:

Рис. 6. Моментная характеристика определенного двигателя, выражающая зависимость крутящего момента Ма от числа оборотов «0 двигателя. Параболы А, В, С — кривые изменения крутящего момента трех различных гидромуфт при работе в стоповом режиме (со скольжением 100%). Правее кривых А, В, С на характеристике двигателя нанесены участки парабол гидромуфты, работающей при различных максимальных оборотах двигателя со скольжением 1,6%. Муфта А — наибольшая, муфта С — наименьшая из трех различных муфт

Эксплуатационные свойства гидромуфты, работающей с двигателем внутреннего сгорания (или с каким-либо другим двигателем, крутящий момент которого изменяется с изменением числа оборотов, например1, с газовой турбиной, электродвигателем и др.), определяются характером изменения скольжения или передаточного отношения между двигателем и ведомым валом при возрастании момента сопротивления на ведомом валу. В большинстве случаев моментная характеристика приводного двигателя, с которым должна работать данная гидромуфта, известна. Такая моментная характеристика представлена на рис. 27. Муфта принадлежит к семейству X, типовая характеристика Я,— ц которого представлена «а рис. 20. Используя уравнение (65), можно рассчитать для каждого режима двигателя или для каждой точки моментной характеристики MQ соответствующие величины скольжений. Рассчитываемые таким способом величины Я, и соответствующие величины ц или е могут быть просто взяты по диаграмме характеристики.

При торможении ведомого вала от п—п0 до его полной остановки :моментная характеристика двигателя деформируется, так как момент, передаваемый муфтой, всегда точно должен соответствовать моменту, передаваемому от двигателя (предполагается, что двигатель постоянно работает «а полную мощность). При уменьшении числа оборотов п вторичного вала в соответствии с иапрузкой на турбинном валу (юти с крутящим моментом двигателя) возрастает скольжение муфты. Если торможение продолжается и далее, то может наступить режим работы, который характеризуется одним из трех следующих обстоятельств. '

<И0 — моментная характеристика определенного двигателя; с — точка стопового

К сожалению, моментная характеристика двигателя является эмпирической кривой, получаемой экспериментально, и не может

4. Внешняя моментная характеристика Я—т] гидромуфты устанавливается экспериментально на испытательном стенде и притом при номинальной степени заполнения. Так как степень заполнения Ф не входит в уравнение (65), то не имеет значения, остается постоянной или изменяется с изменением т) эффективная, т. е. действительная степень заполнения, устанавливающаяся в каждое мгновение внутри собственно рабочей полости.