Максимума понтрягина

В большинстве случаев, как известно, наибольшую опасность представляют остаточные напряжения растяжения, облегчающие развитие поверхностных трещин, проникновение молекул окружающей среды в устье микротрещины и ускоряющие диффузию примесных атомов. Как правило, толщина легируемого слоя значительно меньше толщины образца (детали), и с хорошей степенью точности можно считать применимой при анализе схему плосконапряженного состояния поверхности. Имплантированный ион раздвигает соседние атомы; появление радиационных дефектов (вакансий, междоузельных атомов) в большинстве металлов приводит к напряжениям сжатия. Эпюра напряжений при небольших дозах легирования практически повторяет кривую распределения легирующей примеси, однако увеличение напряжений ограничено пределом текучести металла. При увеличении дозы имплантации выше критической происходит снятие напряжений за счет пластического течения. Эпюра остаточных напряжений приобретает платообразный вид с постепенным выходом максимума напряжений на поверхность. Согласно оценкам для модели твердых сфер, внедряемых в сплошную среду, пластическое течение в ионно-имплантированном

При раскатке поверхности стальной детали шариком диаметром 17 мм при частоте вращения детали 100 об/мин подача 0,1 мм/м и роликом диаметром 40мм с радиусом закругления 4,5 мм с увеличением усилия раскатки глубина залегания максимума остаточных напряжений сжатия увеличивается, но величина напряжения на поверхности уменьшается. На показания низкочастотных приборов заметно влияет исходное состояние образца до наклепа. Но несмотря на это, положение максимума, определенное индукционными приборами, отличается от положения максимума напряжений, измеренных механическим методом, на величину не более ±0,05 мм.

Взяв за основу указанные выше представления, размер механического скачка трещины на величину Д/м можно в первом приближении принять равным расстоянию от вершины трещины до точки максимума напряжений, откуда реализуется скачок трещины. В литературе [33,37,49] это расстояние составляет

предположении плоской деформации и слабого образования окалины. Отмечено положение максимума напряжений в единицах пластического раскрытия трещины у вершины •6, [320]:

При растяжении стержня (вала) с кольцевой выточкой (осе-симметричная задача) существенного смещения максимума напряжений (рис. 7.12) при наличии упругопластических деформаций не наблюдается. В этом случае в отличие от плоской задачи (для пластин) в центре впадины имеет место плоское напряженное состояние с одинаковыми знаками главных напряжений.

Приближенные методы оценки максимальных коэффициентов концентрации напряжения в сопряженных таким образом оболочках позволяют учитывать лишь нагружение внутренним давлением, наличие максимума напряжений в продольном сечении сопряжения, где превалирует оболо-чечный характер поведения, и не дают информации о распределении напряжений в зоне сопряжения [4].

Из уравнения (227) следует, что положение максимума напряжений для проволоки зависит только от значения k. Для проверки изложенного были проведены экспериментальные исследования влияния расположения скрепляющей проволоки на демпфирующую способность пакета стержней.

Рис. 1.10. Схема к модифицированному решению Нейбера—Махутова: а — ротор турбины с пластической областью (заштрихована более мелко): / — ротор; 2 — точка максимума напряжений (х = 0; F2 = Ft); 3 — граница пластической и упругой областей (F2 = 1; a = <7Т); б — петля гистерезиса в стабилизированном цикле нагружения

Вид диаграмм деформации кристаллических и аморфных металлов и изменения формы образца при растяжении вплоть до разрушения схематично показан на рис. 8.8. В случае кристаллических металлов обычно наблюдается значительное деформационное упрочнение, при этом после достижения предела текучести деформация распространяется за счет одновременного протекания скольжения в различных частях образца. При напряжениях, превышающих предел текучести, пластическая деформация и необходимое для ее протекания напряжение существенно возрастают — происходит упрочнение. После достижения максимума напряжений в образце происходят явления, вызывающие локальное сужение (образование шейки) и уменьшение напряжения вплоть до разрушения образца. В случае же аморфных металлов, как материалов, не претерпевающих деформационного упрочнения, максимальное напряжение, достигаемое с ростом деформации, равно пределу текучести, после чего происходит скольжение путем перемещения групп атомов в направлении максимального касательного напряжения. Однако, поскольку при скольжении деформационное упрочнение отсутствует, деформация начинается и развивается в одной и той же части образца, а именно в плоскости максимального Касательного напряжения. В этой же плоскости происходит и разрушение. Вследствие крайне неоднородной по образцу деформации диаграммы де-

Для расчетов берется кривая 2 из той зоны соединения или шва, которая обладает наименьшим значением пластичности е'в. В расчете по формуле (14.2.3) используется значение о'в усл, определяемое на пересечении вертикальной линии, проведенной из точки максимума напряжений В', с диаграммой основного металла 1. Если точка В' находится правее точки В, то соединение, расположенное вдоль главного максимального напряжения, не вызывает снижения прочности и расчет можно не выполнять. При этом не имеет значения, располагается кривая 2 ниже или выше кривой 1. Это определяется тем, в каком соотношении находятся значения 2В и 2Ь в образце на рис. 14.2.3,6, позволяющие судить об относительном размере зоны соединения с измененными механическими свойствами. Если 2В в 3-4 раза превосходит 2Ь, то прочность такого образца практически соответствует прочности листа с продольным сварным соединением и значение сг'в можно использовать в расчете.

Вероятно, чувствительность к концентрации напряжений возрастает при увеличении размера концентратора. Фактически от концентраторов с большим радиусом закругления в точке максимума напряжений следует ожидать абсолютной чувствительности к концентрации напряжений, определяемой теоретическим коэффициентом концентрации напряжений. Подобное поведение описывается уравнением (5.12), причем для чугунов с графитовыми включениями коэффициент ослабления концентрации напряжений сравнительно велик, 1/а = 0,6 мм1!*. Низкая чувствительность материала к концентрации напряжений -означает, что для данного размера концентратора предел выносливости относительно высок, однако неизбежно достигается абсолютная (Чувствительность к коцентрации напряжений при размере концентратора, большем определенного значения.

Разработаны многочисленные методы решения задачи оптимизации при различных видах целевой функции, уравнений связи и типах ограничений, которые условно можно подразделить на две группы: а) классические (метод дифференциального исчисления, метод множителей Лагранжа, вариационное исчисление): б) метод математического программирования (методы линейного и нелинейного программирования, метод динамического программирования, принцип максимума Понтрягина и др.).

Методы решения математических задач по нахождению оптимальных значений управляющих переменных величин называют математическим программированием. Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений не существует. В частных случаях пользуются специальными методами. Если ограничения отсутствуют, а операция описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, пользуются классическими методами нахождения экстремума с помощью дифференциального и вариационного исчислений. При наличии ограничений применяют принцип максимума Понтрягина, развивающий и обобщающий задачи вариационного исчисления.

Принцип максимума Понтрягина. Обобщением вариационного метода Лагранжа является метод, основанный на принципе максимума Понтрягина [256]. Он был разработан применительно к задачам теории оптимального управления, однако то обстоятельство, что он дает возможность искать оптимальные решения среди более широкого класса функций, делает его применение перспективным и к решению задач акустической оптимизации машинных конструкций [207, 346, 355, 356]. Метод состоит в следующем.

Чтобы лучше понять принцип максимума Понтрягина, установим его связь с вариационным методом Лагранжа. Предположим для этой цели, что функции Ф* имеют непрерывные производные не только по ut, но и по а;-, что функции и{(х) и щ (х) являются непрерывно дифференцируемыми функциями и что ограничения (7.52), (7.53) отсутствуют. Используя переменные множители Лагранжа, напишем модифицированный функционал (7.75) в виде

Рассмотрим снова в качестве примера задачу минимизации массы стержня, изображенного на рис. 7.37, но при наличии ограничений на размеры поперечного сечения Si ^ S(x) <: 8%. Очевидно, что если область допустимых размеров достаточно велика, то решение (7.70) остается в силе. Если это не так, то задачу следует решать по-другому, так как уравнение оптимальности (7.68) становится, вообще говоря, неверным. Пользуясь в этом случае принципом максимума Понтрягина, для каждого значения х среди функций (7.70), S(x)*—Si и S(x) = S2 следует определить ту, при которой функция Гамильтона (7.77) принимает наибольшие значения. Проделав необходимые выкладки, можно убедиться, что при этом получается одно из решений, изображенных на рис. 7.41. Оптимальная зависимость размеров поперечного сечения стержня S(x) представляется непрерывной кусочно-дифференцируемой функцией.

207. Лепи к Ю. Р. Применение принципа максимума Понтрягина в_за-дачах прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций.— Механика, 1974, № 6.

Представление распределений 46, 58 Преобразование сигналов, 50 Принцип максимума Понтрягина 286 Пространственная корреляция 84

Методы математического программирования можно разделить на аналитические и численные. К первым относятся методы, основанные на дифференциальном и вариационном исчислении, на принципе максимума Понтрягина и на достаточных условиях Кротова и Др.; ко вторым относятся методы, основанные на линейном, динамическом и нелинейном программировании,

Если имеются ограничения на параметры, управление является функцией независимых переменных, а модель представляет собой набор аналитических зависимостей, могут быть применены принцип максимума Понтрягина и методы, основанные на достаточных условиях Кротова.

В теории оптимальных процессов существуют два основных метода решения этой задачи: метод динамического программирования и принцип максимума Понтрягина /3/.

параметров должен выполняться либо на основе принципа максимума Понтрягина [7, 8, 68], либо с использованием еще более общих методов. К числу последних относятся, например, методы динамического программирования [5] или градиентный метод [98, 8]. В последнем случае весьма эффективно использование аппарата сопряженных функций и формул теории возмущений.