Масштабных коэффициентов

Для преобразования уравнений к обобщенной форме вводим масштабные преобразования для переменных в данном процессе величин, а постоянные принимаем за опорные значения, т. е.

В том случае, когда физическое явление изучено настолько, что представляется возможным дать его математическую формулировку, можно произвести масштабные преобразования имеющихся уравнений (с граничными и начальными условиями) и найти соответствующие критерии подобия. Существенным при этом является тот факт, что для получения критериев подобия не обязательно иметь решение составленных уравнений, достаточно располагать исходными уравнениями в дифференциальной, интегральной или конечной форме, присоединив к ним начальные и граничные условия. Метод анализа уравнений, следовательно, предполагает знание значительного объема информации, относящейся к изучаемому объекту.

§ 3.2. МАСШТАБНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМЫ ПОДОБИЯ

Введем в рассмотрение для уравнений (3.18) масштабные преобразования переменных, полагая в качестве коэффициентов kj масштабы

Вводя масштабные преобразования xt =• kxxs, yt — kyys, zt = = kzzs, получим: Z( — Az/f/Ajcb (kzkjky) zs — Aj/s/Azs.

Уравнения (3.27) для модели и натуры различаются лишь индексами 1, 2 у всех постоянных и переменных величин. Рассматривая эти уравнения для натуры 2 и выполняя в них масштабные преобразования -основных параметров в соответствии с формулами (3.28), придем к видоизмененной краевой задаче в форме

Выполняя масштабные преобразования переменных в дифференциальных уравнениях (4.7) и краевых условиях (4.8), записанных для натурного образца 2, получим:

Выполняя масштабные преобразования переменных в уравнениях для модели с помощью равенств (5.4), найдем

Вводя масштабы напряжений и деформаций по формулам (5.4) и выполняя масштабные преобразования переменных в "уравнениях (5.13), (5.14), можно убедиться в том, что указанные уравнения совпадают для модели и натуры при любых значениях выбранных масштабов.

В том случае, когда вид функций Фх, Ф2 произволен, масштабные преобразования (5.4) в уравнении (5.15) не обеспечивают; тождественности подчеркнутых уравнений (5.16), (5.17) для образцов 1 и 2. Невозможность осуществления пропорциональных преобразований в уравнении (5.15) является признаком неподобия физических явлений. Следовательно, с точки зрения теории

Записывая систему уравнений (6.1)—(6.6), (6.7) для натуры и выполняя масштабные преобразования переменных по формулам (6.8), из условий инвариантности уравнений теории оболочек для модели и натуры (§ 3.2) получим уравнения связи между масштабами:

При выборе масштабных коэффициентов, например длины ц, (м/мм), скорости ц„ (м/с), ускорения [1и[м/(с2- мм)], удобно придерживаться соответствующих чертежных стандартов.

нужно взять / + s', а при приближении его / — s'. Данное графическое решение справедливо при ^=Hs<=f*i' T- е- ПРИ равенстве масштабных коэффициентов.

По уравнению (11.14) строим график приращения кинетической энергии AT как функции угла ф (рис. 38, б). Для этого измеряем площадь FQI (мм2), заключенную между графиками Мл и Мс в пределах от ф=0 до текущего значения ф = ф; (i=l, -.., 12), считая эту площадь положительной при МЯ>МС и отрицательной при МЛ<МС. С учетом масштабных коэффициентов получаем АТ= = ^огм-лгЦф- Построение графика рекомендуется начинать с нахождения экстремумов AT, которые получаются в точках пересечения графиков Мд и Мс, т. е. в точках а, Ь, с и d. Сначала подсчитываем площади Fea, Fab, РЬС, FCd и Fae. Сумма этих площадей с учетом их знаков должна равняться нулю. Затем находим ординаты графика в точках экстремумов:

По уравнению (10.47) строим график приращения кинетической энергии AT как функции угла ф (рис. 58,6). Для этого измеряем любым способом площадь Foi в мм2, заключенную между графиками Мд и Мс в пределах от ф = 0 до текущего значения ф = ф,- (I = 1,2, . . . , 12), считая эту площадь положительной при Мл > Мс и отрицательной при Мл < Мс. С учетом масштабных коэффициентов получаем ДГ = Р0цим\л.<(-

Для расчета масштабных коэффициентов перехода от модели к натуре (т. е. чтобы симплекс каждого параметра представить в виде функции геометрических размеров модели и натуры) необходимо решить систему уравнений (критериев), описывающих процесс удара.

В табл. 14 приведены три варианта масштабных коэффициентов перехода от модели к натуре для параметров режима удара, полученные при различных начальных условиях. Многообразие параметров, влияющих на процесс теплообразования при ударе, не дает возможности учесть масштабные коэффициенты для всех параметров. Особенные трудности возникают при учете масштабных коэффициентов перехода параметров, характеризующих физико-механические свойства контактирующих материалов. Модельные и натурные испытания для настоящей работы проводили на одинаковых материалах (сталь 45, закалка, средний отпуск, HRC 38 — 42), поэтому учет тепло-физико-механических свойств модели и натуры нецелесообразен ввиду их автомодельное™. Точность моделирования может снизиться, но эксперименты показали, что она достаточна.

При осуществлении масштабных коэффициентов (табл. 16) на модельных лабораторных образцах можно получить идентичные натуре температурные поля. Интерес в этом случае представляет не только применение переходных коэффициентов к конкретной соударяющейся паре, геометрически подобной натурной, но и проверка возможности моделирования при афинном подобии натуры и модели, т. е. когда модельные и натурные образцы геометрически не подобны.

При наличии системы связи АВМ — ЭЦВМ часть функций, обычно выполняемых оператором АВМ, например, составление структурных схем, расчет масштабных коэффициентов, вычисление коэффициентов, задаваемых с помощью потенциометров, а также проведение статических проверок, могли бы быть переданы ЦВМ, что существенно сократило бы непроизводительные затраты машинного и операторского времени. При наличии прямой связи АВМ с ЦВМ может быть достигнуто наилучшее сочетание достоинств каждого типа вычислительных машин: высокого быстродействия АВМ, высокой точности и развитой логики ЦВМ, способности проведения при необходимости статистической обработки

значения масштабных коэффициентов не должны выходить из определенного интервала (обычно 0,1 — Ю).

Этап 3. Моделирование эксплуатационных условий на лабораторных установках и малогабаритных образцах с использованием масштабных коэффициентов перехода от модели к натуре.

где А„ — номинальная площадь трения; S — характерный размер, представляющий отношение свободной (т.е. не находящейся в контакте) поверхности элемента пары трения к его объему с учетом теплового пограничного слоя и эффективного теплопоглощающего объема тела [35, 42, 49]. Индексы 1 и 2 относятся к элементам пары трения. Такой подход к получению масштабных коэффициентов перехода от модели к натуре впервые разработан в Институте машиноведения и является оригинальным,