Математическая статистика

В настоящей главе разъясняются физическая природа возникновения и распространения возмущений, рассматриваются разнообразные методы измерения кинематических и динамических параметров. Приводятся динамические уравнения и определяющие соотношения, даются необходимые механические пояснения, важные для понимания сущности рассматриваемой проблемы. Приведена физико-математическая постановка динамической задачи и изложен общий эффективный метод ее решения. Достаточно детально обсуждены условия на фронте волны возмущений, выяснены области возмущений, инициированные волнами нагрузки и разгрузки, а также проанализировано отражение и взаимодействие волн напряжений ^при их распространении.

Математическая постановка одного из основных вариантов ЗСР, носящего название JSSP (Job Shop Scheduling Problem), имеет следующий вид.

5. Расчетный метод. Обычно строгая математическая постановка задачи самым тесным образом связана с используемым в дальнейшем расчетным методом. Сам расчетный метод определяется допустимыми характеристиками по трудоемкости и точности требуемых результатов (это касается не только машинных, но и ручных методов счета). Кроме того, очень сложные модели порождают проблему допустимой размерности задачи, поскольку при машинном счете, в частности, сразу же возникают вопросы ограниченной памяти и реального времени счета. В связи с этим очень часто в задачах большой размерности используются различные методы точной и эвристической декомпозиции задачи на подзадачи меньшей размерности, а также методы эквивалентирования математических моделей (п. 3.4.2).

Конечно, возможны иные критерии оптимизации периода предупредительных замен. Так, могут быть заданы не стоимости проведения предупредительной и аварийной замен, а их длительности, что приведет к необходимости минимизировать коэффициент простоя элемента (математическая постановка задачи в данном случае сохранится с точностью до обозначений), или может быть оптимизирована вероятность выполнения задачи заданной длительности. Могут быть сформулированы задачи на условную оптимизацию. Например, необходимо добиться заданных эксплуатационных характеристик при минимальных экономических затратах (или добиться максимально возможных эксплуатационных характеристик при заданных экономических затратах).

Более подробно математическая постановка задачи оптимальной компоновки..рассмотрена в работе ll\ , ..

Х.Кафарох Е.Б.,Мешалкин Б.Е.,Богомолов Б.Б. Математическая постановка задачи оптимального размещения оборудования химических производств.—Химическая промышленность, 1980,№1, о. 51-54.

Ограничим анализ случаем квазистационарного разрушения и допустим, что внутри прококсованного слоя все теплофизические свойства постоянны (см. гл. 3). Кроме того, учтем, что перенос тепла внутри газовых струек за счет молекулярной теплопроводности ничтожно мал по сравнению с конвективным переносом тепла, особенно при высоких скоростях разрушения. При этих допущениях математическая постановка задачи формулируется следующим образом:

Энергетическая и математическая постановка задачи. Задача выбора оптимального развития ТЭЦ заключается в определении не только оптимального числа и единичной мощности теплофикационных турбин, энергетических и водогрейных котлов, но и сроков их ввода по годам расчетного периода. При этом может оказаться целесообразным такое развитие ТЭЦ, при котором вначале на ее площадке (или на отдельных площадках) устанавливаются водогрейные котлы, а при достижении соответствующего уровня тепловых нагрузок — теплофикационные турбины и энергетические котлы. После ввода турбин водогрейные котлы переводятся на работу в пиковом режиме. При определенных условиях может быть более экономичным развитие ТЭЦ, предусматривающее установку теплофикационных турбин и энергетических котлов в начале расчетного периода. Очевидно, что выбор того или иного пути развития ТЭЦ зависит от той минимально допустимой тепловой нагрузки, при которой становится эффективным ввод теплофикационных турбин. Многообразие влияющих факторов приводит к тому, что ее величина не может быть определена однозначно.

Из рассмотренной энергетической постановки задачи и основных методических принципов ее решения вытекает математическая постановка, в общем виде сформулированная в [162]. Ниже излагается дальнейшее развитие обобщенной математической постановки решаемой задачи.

Математическая постановка задачи:

Математическая постановка задачи. В задачах диагностики состояние системы часто описывается с помощью комплекса признаков

Приоритет использования такого подхода в различных областях техники в значительной мере объясняется историческими причинами. Начальный период развития теории надежности связан прежде всего с проблемами, возникшими в ходе разработки и эксплуатации радиотехнических, электротехнических и электронных устройств. Такие устройства, как правило, содержат десятки, сотни и тысячи относительно дешевых элементов. Наиболее подходящим средством решения задач их надежности стали теория вероятности и математическая статистика. Оказалось, что те идеальные математические объекты с которыми оперируют данные науки, могут служить средством описания реальных объектов. Для этого последние должны отвечать следующим требованиям:

Поскольку прогнозирование остаточного ресурса относится к конкретному, индивидуальному объекту, а гфсмноз неизбежно содержит элементы вероятностного характера, то возника гг вопрос об истолковании вероятностных выводов применительно к ищ ивидуальным объектам и индивидуальным ситуациям. Современная тео эия вероятностей и математическая статистика традиционно отдают предпочтение статистической интерпретации вероятности как единственном} толкованию, имеющему объективный смысл. Аналогичное толкование / ают и в системной теории надежности, развитой в первую очередь прим мнительно к массовой продукции, работающей в статистически однороди >гх условиях. Применительно к уникальным объектам приходится использот ать менее популярное понятие индивидуальной, субъективной или байессвской вероятности как меры уверенности в истинности суждения. Теорш статистических решений почти целиком основана на байесовском истолковании вероятности, причем выводы индивидуального характера базирук ггся на статистической информации, полученной из анализа представител эных выборок. Применительно к прогнозированию индивидуальных показателей надежности роль статистической информации играют данные о на рузках, свойствах материалов, соединений и деталей, причем эти данные < тносятся либо к массовым явлениям, либо к эргодическим процессам. Г снятия индивидуальных показателей надежности, в конечном счете, представляют собой математическую формализацию интуитивных представлений, которые использует группа экспертов при обсуждении вопроса о возможности дальнейшей эксплуатации конкретного технического объекта.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА - наука о матем. методах систематизации и использования статистич. данных для науч. и практич. выводов. Во мн. своих разделах М.с. опирается на вероятностей теорию, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на осн. огранич. статистич. материала (напр., оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочной проверке). МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - то же, что машинный эксперимент.

Приоритет использования такого подхода в различных областях техники в значительной мере объясняется историческими причинами. Начальный период развития теории надежности связан прежде всего с проблемами, возникшими в ходе разработки и эксплуатации радиотехнических, электротехнических и электронных устройств. Такие устройства, как правило, содержат десятки, сотни и тысячи относительно дешевых элементов. Наиболее подходящим средством решения задач их надежности стали теория вероятности и математическая статистика. Оказалось, что те идеальные математические объекты, которыми оперируют данные науки, могут служить средством описания реальных объектов. Для этого последние должны отвечать следующим требованиям:

Поскольку прогнозирование остаточного ресурса относится к конкретному, индивидуальному объекту, а прогноз неизбежно содержит элементы вероятностного характера, то возникает вопрос об истолковании вероятностных выводов применительно к индивидуальным объектам и индивидуальным ситуациям. Современная теория вероятностей и математическая статистика традиционно отдают предпочтение статистической интерпретации вероятности как единственному толкованию, имеющему объективный смысл. Аналогичное толкование дают и в системной теории надежности, развитой в первую очередь применительно к массовой продукции, работающей в статистически однородных условиях. Применительно к уникальным объектам приходится использовать менее популярное понятие индивидуальной, субъективной или байесовской вероятности как меры уверенности в истинности суждения. Теория статистических решений почти целиком основана на байесовском истолковании вероятности, причем выводы индивидуального характера базируются на статистической информации, полученной из анализа представительных выборок. Применительно к прогнозированию индивидуальных показателей надежности роль статистической информации играют данные о нагрузках, свойствах материалов, соединений и деталей, причем эти данные относятся либо к массовым явлениям, либо к эргодическим процессам. Понятия индивидуальных показателей надежности, в конечном счете, представляют собой математическую формализацию интуитивных представлений, которые использует группа экспертов при обсуждении вопроса о возможности дальнейшей эксплуатации конкретного технического объекта.

Математическая статистика дает методы проверки статистических гипотез, способы оценки параметров различных законов распределения и определения доверительных интервалов, а также решает другие вопросы, связанные с основной задачей статистики—как по частным результатам эксперимента сделать выводы об~ общих закономерностях, характеризующих генеральную сово-

23. Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математическая статистика в технике (общая часть). ГИТТЛ, 1955.

26. Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математическая статистика в технике. М., Гостехиздат, 1955. 556 с.

6. Длин А. М. Математическая статистика в технике. М., «Советская наука», 1958. 466 с.

8. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями.— М. : Иэд-вр иностр. лит., 1956.— 664 с.

16. Длин А. М. Математическая статистика в технике. М., «Советская наука», 1958, 466 с.