Математические формулировки

При расчете деталей, не предназначенных для длительного срока службы, вводят понятие предела ограниченной выносливости oKiV, где под N понимают заданную циклическую долговечность, которая меньше базы испытаний, т. е. ЛГ<Л'0. В ряде случаев известна математическая зависимость наклонной кривой усталости а^Лг0=: =opRNN—const. Тогда предел ограниченной выносливости

При решении задач кинематического синтеза механизмов с низшими парами необходимо движение выходного звена связать с движением входного звена механизма. Математическая зависимость, связывающая положение выходного п и входного / звеньев, называется функцией положения механизма. В общем случае для любого шар-

36. Бондаренко Э. А. Математическая зависимость тарифов на железнодорожные перевозки энергетического топлива. — «Энергетик», 1970, № 10, с. 20—21.

Для расчета деталей, не предназначенных на длительный срок службы, вводят понятие ограниченного предела выносливости <тк№ где под N понимают заданное число циклов, меньшее базового числа. В ряде случаев известна математическая зависимость наклонной кривой выносливости CTR./VO = сткдгАГ = const. Тогда ограниченный предел выносливости

Между плотностями потоков результирующего и эффективного излучений может быть установлена математическая зависимость, если из (16-20) выразить

ЭУ в определенном смысле сама представляет собой овеществленную энергию, которая была затрачена на производство материалов, их обработку, соединение элементов в единый агрегат и т. д. Поэтому надежность особенно дорогостоящих стационарных, а также большинства транспортных, ЭУ (где должны быть обеспечены безопасность экипажа, пассажиров и выполнение назначения) важна не только сама по себе, но и как некая энергетическая составляющая расхода энергии «на собственные нужды». Так, например, обычно с повышением энергетической эффективности (удельной мощности, топливной экономичности и т. п.) надежность ЭУ падает, а их оптимальное соотношение делает общую эффективность установки максимальной. Под надежностью понимается способность ЭУ не отказывать в работе. Существует точная математическая зависимость между надежностью системы и ее элементов.

громкости сигнала AL. Фехнером получена математическая зависимость

В 1878 г. Бертран показал, что, пользуясь правилом размерной однородности физических уравнений, можно находить математические зависимости между физическими величинами и в тех случаях, когда уравнения связи между этими величинами неизвестны. Математическая зависимость между такими величинами должна быть зависимостью между безразмерными комплексами, составленными из указанных величин. Бертран показал, как такие зависимости, полученные для частных случаев, распространяются на группы подобных явлений. Таким образом, он заложил основы новой науки — теории размерностей, которая рассматривает те же вопросы, что и теория подобия, но несколько в ином аспекте. Обе теории являются основой теории моделирования.

Наименование операции Математическая зависимость Условное обозначение

Между коэффициентами ц и q> существует определенная математическая зависимость, которую получим на основании уравнений (5), (2а) и (4)

Модуль упругости зависит от состава стекла, но математическая зависимость весьма сложна, и поэтому расчёт по правилу аддитивности даёт лишь весьма приближённые результаты.

Согласно принципу относительности Эйнштейна, все законы природы должны быть инвариантны по отношению к инерциальным системам отсчета. Другими словами, математические формулировки законов должны иметь один и тот же вид во всех этих системах отсчета. В частности, это относится и к законам динамики.

Математические формулировки основных законов, описывающих упругопластическое поведение, были приведены в разд. II, практические их приложения к точному анализу будут •обсуждаться ниже. Уравнения, описывающие физические ограничения, т. е. формулировки соответствующих краевых задач, будут представлены в разд. IV, В.

Запишем математические формулировки задач об отдельно протекающих стационарных процессах теплообмена и массообмена при продольном смывании плоской поверхности. Формулировки приведем в приближении пограничного слоя, считая течение безградиентным, физические параметры постоянными и скорости умеренными.

Сравнивая математические формулировки (5-4-1) и (5-4-2), можно отметить, что они идентичны во всем, кроме задания условия для нормальной компоненты скорости при у=0. Для тепловой задачи в силу непроницаемости стенки задано wv(x, 0)=0. Для диффузионной wy(x, 0)=Wyo, где в общем случае скорость поперечного потока wy0 может быть функцией х. Если положить да^-Н), то в первом приближении можно полагать, что решения задач (5-4-1) и (5-4-2) будут идентичны, С формальной точки зрения безразлично, какую из этих задач решать, если ш^о-Я). Поля температур и концентраций будут различаться на постоянную или полностью совпадать при безразмерном представлении и Z)=a.

Для выделения конкретного решения уравнения энергии вводят условия однозначности. Они включают геометрические, физические, временные (начальные) и граничные условия. Совокупносгь временных и граничных условий называют краевыми условиями. Эти условия представляют собой частично непосредственные результаты наблюдений, частично математические формулировки гипотез, основанных на опытных данных. В общем случае построение условий однозначности представляет задачу значительной сложности. Особенно это относится к задачам горения, абляции, сублимации, к сопряженным задачам тепло- и массопереноса и т. д.

Из условия стационарности (1.4.61) как частный случай могут быть получены математические формулировки принципов возможных изменений перемещений и напряжений, которые были изложены в п. 1.4.6 и 1.4.7.

Изложенные выше вариационные принципы могут быть применены для решения геометрически нелинейных задач теории упругости. Для этого необходимо внести некоторые изменения в их математические формулировки. Суть этих изменений состоит в следующем:

Ниже приведены математические формулировки вариационных принципов нелинейной теории упругости Васидзу и Рейсснера-Хеялингера, Формулировки остальных вариационных принципов могут быть получены из приведенных как частный случай.

При приближенном решении задач теплопроводности функции \vn(M) в формуле (4.3.40) или (4.3.49) не всегда удается задать в виде непрерывной зависимости от координат точки М во всем объеме V рассматриваемого тела. Но математические формулировки задач теплопроводности в интегральном виде (4.3.41), (4.3.47), (4.3.48) допускают представление искомого распределения температуры через кусочно-непрерывные функции, определенные не во всем объеме тела, а лишь в пределах его отдельных конечных областей. В этом состоит основная идея применения метода конечных элементов (МКЭ) для приближенного решения задач теплопроводности [85].

При приближенном решении задач теплопроводности функции w,t (M) в (4.48) или (4.59) не всегда удается задать в виде непрерывной зависимости от координат' точки М во всем объеме V рассматриваемого тела. Но математические формулировки задач теплопроводности в интегральном виде (см. § 1.3) допускают представление искомого распределения температуры через кусочно-непрерывные функции, определенные не во всем объеме тела, а лишь в пределах его

Полученные уравнения (1.65) и условия на бо в виде уравнений (1.63) и (1.64) представляют математические формулировки принципа возможных изменений напряженного состояния. Из уравнений (1.63) и (1.64) следует, что в качестве возможных