Математические выражения

Поскольку форма мембраны в процессе деформации неизвестна, то при решении указанной системы уравнений возникают значительные математические трудности. Поэтому решение подобных задач целесообразно произво-

«... Вероятно, Гиббс слишком хорошо понимал значение системы обозначений, когда он писал: "Именно сомнения относительно преимущества различных систем обозначений, удерживавшие меня ранее от каких-либо публикаций по данному предмету и удерживающие меня также сейчас от какой-либо формы окончательной публикации, ... вызвали у меня ощущение, что в моем способе применения символов кроется какая-то неточность". Гиббс ввел точку и крест для обозначения скалярного и векторного произведений. Значение разработки векторного анализа иллюстрируется следующей характеристикой, данной самим Гиббсом: "Если я достиг каких-то успехов в математической физике, то это, как я думаю, произошло потому, что я смог преодолеть математические трудности",»

Значительные математические трудности, связанные с решением общих уравнений теории упругости, привели к необходи-••<;<••>•!' построения решений для более или менее широких классов частных случае);. Таковым, например, является класс «плоских задач теории упругости», включающий в себя два практически важных случая: а) деформация длинного цилиндра одинаковыми во всех плоскостях усилиями, приложенными к его боковой по-норхпоети н лежащими в плоскостях, перпендикулярных образующим цилиндра, и б) деформация пластины усилиями, лежащими в ее плоскости и приложенными к ее периметру.

Для квадратного преобразователя Xe=dzf(nK)=Sal(n,K) с погрешностью не более 10%. Расчет поля в ближней и переходной зонах в стороне от оси преобразователя вызывает определенные математические трудности. Его выполняют с применением ЭВМ или определяют поле экспериментально. Получению обобщенных результатов при минимальном количестве расчетов или экспериментов помогает способ моделирования, согласно которому поле представляют как функцию небольшого числа безразмерных параметров. В качестве таких параметров удобно выбрать отношения расстояния вдоль оси х к границе ближней зоны л"б=5„/(яА,) и рв — расстояния точки В от оси х к а — радиусу круглого или стороне прямоугольного преобразователя. Например, для круглого преобразователя

При решении нелинейных задач аналитическими методами возникают существенные математические трудности, которые требуют разработки специальных методов решения [3]. Причем возможность получения аналитического решения и выбор метода существенным

функция fi будет одна и та же для всех подобных процессов. То же самое можно оказать и о функции /2 и т. д. Если система безразмерных уравнений и граничных условий достаточно сложна, то при нахождении функций /1 и /2 могут встретиться значительные математические трудности. Однако можно утверждать1, что эти функции существуют.

Расчет поля в ближней и промежуточных зонах в стороне от оси преобразователя вызывает определенные математические трудности. Поле рассчитывают с применением ЭВМ [52], более сложных аналитических формул [81] или определяют экспериментальным путем. Получению обобщенных результатов при небольшом объеме расчетов или экспериментов помогает способ моделирования, согласно которому поле представляют как функцию небольшого числа безразмерных параметров. В качестве таких параметров удобно выбрать отношение расстояния вдоль оси х к границе ближней зоны Sa/(nX) и отношение рв — расстояния от точки В до оси х — к радиусу круглого или стороне прямоугольного преобразователя. Для круглого преобразователя

Теория двухчастотного метода, который имеет большое научное и прикладное значение, развита недостаточно. В общей постановке на пути решения указанных задач возникают математические трудности, особенно в

Несмотря на свою исключительную и очевидную важность, теория удара пока далека от завершения. Трудности имеют и математическую, и физическую природу. Последние состоят в большой неопределенности свойств материала при ударе, несмотря на довольно развитую методику динамических испытаний материалов. Математические трудности возникают при изучении соударения тел даже простой формы (две сферы, два призматических стержня), для которых в основном и создана теория. В случае же более сложной формы математические затруднения часто оказываются почти непреодолимыми. Следствием отмеченной сложности является возникновение разнообразных упрощенных теорий. Эти теории, разумеется, должны применяться с большой осторожностью, после необходимой их оценки и выявления границ правомочности ').

Для практического решения вопросов динамики колебаний упругих систем метод главных координат уже сравнительно давно применяли наши судостроители. П. Ф. Папкович [2] рассмотрел задачу о продольной качке корабля, сведя ее к двум дифференциальным уравнениям относительно главных координат. Акад. Ю. А. Шиманский [3] разработал метод динамического расчета систем, обладающих несколькими степенями свободы, с применением главных координат, в котором системы с двумя, тремя и более степенями свободы приводятся к хорошо изученным системам с одной степенью свободы. Однако применение своего метода Ю. А. Шиманский считает весьма рациональным лишь для немногих простых случаев, так как при решении сложных систем возникают известные математические трудности.

Для определения закона распределения теплового потока между движущимися контактирующими телами с учетом естественных краевых условий следует решить соответствующую тепловую контактную задачу для движущихся тел с подвижными границами. Решение ее представляет большие математические трудности. Для площадки контакта постоянных размеров задача рассмотрена М. В. Коровчинским [8, 9]. Решение получено в виде системы интегральных уравнений, численная реализация которых затруднительна. Вместе с тем с учетом кратковременности процесса заклинивания для вычисления коэффициента распределения потока трения между движущимися контактирующими телами с достаточной точностью можно воспользоваться решением, полученным И. В. Кра-гельским [10]

3. Теплофизические коэффициенты Я,, а, ср, а принимают не зависящими от температуры. Это допущение хотя и искажает действительный процесс распространения теплоты в теле, но значительно упрощает математические 'выражения.

В работе /31/ приведены математические выражения для компонент, входящих в формулу (5.6), что дало основание не показывать их в настоящем разделе в силу громоздкости. Однако графическая реализация результатов вычислений в виде зависимости параметра ?н от нагруженное™ сварного соединения стс , его геометрии и местоположения поры приведена на рис. 5.2. Последние два фактора характеризуются поправочной функцией F, которая находится путем сопоставления упругого решения для тел бесконечных и конечных размеров и для решений в упругой стадии работы при различныхположенияхпорывшвах. В дальнейшем будут приведены расчетые формулы для определения F для единичных дефектов и цепочки пор. При локальном пластическом деформировании металла в окрестности поры параметр ?н уменьшается с увеличением поправочной функции F. В условиях общей текучести (рис. 5.2, б) влияние поправочной функции F на критические напряжения ст незначительно.

Соединение двух звеньев в кинематическую пару устанавливает связи, которые могут быть выражены математически. Такие математические выражения называются условиями связи. Для определения числа условий связи, которые налагают кинематические

Математические выражения чисел Био Bi и Нуссельта Nu [см. формулу (9.47)] совпадают, но между ними есть два существенных различия. В число Bi входит коэффициент теплопроводности для твердого тела, а в число Nu — для жидкости. Главное же отличие состоит в том, что число Nu — определяемое, поскольку коэффициент теплоотдачи о в нем неизвестен, а в число Bi должно подставляться уже предварительно найденное значение а, поэтому это число — определяющее, его величина известна из условий задачи.

В работе /31/ приведены математические выражения для компонент, входящих в формулу (5.6), что дало основание не показьтать их в настоящем разделе в силу громоздкости. Однако графическая реализация результатов вычислений в виде зависимости параметра ^н от нагруженности сварного соединения ст , его геометрии и местоположения поры приведена на рис. 5.2. Последние два фактора характеризуются поправочной функцией F, которая находится путем сопоставления упругого решения для тел бесконечных и конечных размеров и для решений в упругой стадии работы при различных положениях поры в швах. В дальнейшем будут приведены расчетые формулы для определения F для единичных дефектов и цепочки пор. При локальном пластическом деформировании металла в окрестности поры параметр 4Нуменьшается с увеличением поправочной функции F. Вусловиях общей текучести (рис.5.2, б) влияние поправочной функции F на критические напряжения а,

Зависимости (14.22) представляют собой математические выражения обобщенного закона Гука. Напряжения «т*, стя ст2 следует подставлять в формулы со своим знаком. Если бы по граням элемента кроме нормальных возникали и касательные напряжения, то величины линейных деформаций не изменились бы и зависимости (14.22) остались в силе.

Кинетические характеристики коррозии, как правило, устанавливаются на базе экспериментальных данных, проводимых в лабораторных, полупромышленных и промышленных условиях. Они наиболее часто получаются на основе длительных лабораторных испытаний в изотермических условиях в широком температурном диапазоне, которые затем корректируются данными промышленных испытаний. Однако имеются и методы, позволяющие получить соответствующие математические выражения кинетики коррозии металла непосредственно из данных промышленных испытаний.

за к теории электричества и магнетизма» вводит понятие потенциальной функции, или просто «потенциала», и получает для него математические выражения (формулы Грина), которые применяет для решения электростатических и магнитостатических задач. Вскоре понятие «потенциал» стало широко применяться. Но поскольку разность потенциалов между двумя точками поля определяет работу, необходимую для переноса тела («пробного заряда»), то сам потенциал есть, по существу, потенциальная энергия тела в данной точке поля.

В первом разделе работы Умов вводит основные понятия, включая понятие потока энергии, и получает на их основе математическое выражение закона сохранения энергии в дифференциальной и интегральной формах. Во втором 'и третьем разделах он исследует законы движения энергии в конкретных случаях: в упругих телах, в жидких средах и при переносе энергии между взаимодействующими телами, пространственно отделенными друг 01 друга. В каждом случае од получает математические выражения компонент вектора плотности энергии— уравнения движения энергии.

В 1854 г. в труде <Юб измененной форме второго начала...» Клаузиус дает математические выражения двух начал для обратимых, то есть идеальных, не встречающихся в природе процессов, протекающих без рассеяния энергии и при равновесии системы, — бесконечно медленно. В наиболее точной дифференциальной форме эти выражения выглядят так. Первое начало: dQ=dU-\-dW— бесконечно малое количество тепла, подводимое к системе, например к газу над поршнем в автомобильном двигателе, должно быть равно бесконечно малому изменению внутренней энергии ее — dLJ и бесконечно малому количеству совершенной работы dW. Второе начало:

Математическое подобие — подобие между величинами, входящими в математические выражения.