Математических преобразований

Получены математические зависимости, позволяющие по показаниям рентгеновских датчиков рассчитать глубину прославления. Приводятся функциональные схемы различных устройств для контроля процесса формирования канала щкшдавдеыия и глубины про-плавления.

Проблема учета механической неоднородности при оценке работоспособности сварных соединений и конструкций всегда привлекала внимание ученых. В настоящее время наиболее полно материал по данной проблеме изложен в монографиях /4.9/. Здесь с единых теоретических позиций представлены математические зависимости о влиянии механической неоднородности и геометрических параметров мягких прослоек на несущую способность сварных соедине -ний. В частности, для сварных соединений из пластин (плоская деформация) с мягкой прослойкой, геометрическая форма которой может быть самой разнообразной (рис . 1.7), получена следующая обобщающая зависимость для случая статического растяжения:

В заключение отметим, что изложенные способы определения перекосов ходовых колес и мостов кранов не исчерпывают всего спектра научных поисков решения этой проблемы. В этом отношении определенный интерес представляют другие работы как отечественных, так и зарубежных исследователей. В работе В.Януша [54] описаны приемы геодезического контроля не только подкрановых путей, но и несущей системы крана и колес, а также взаимного их расположения. А в другой его работе [55] представлен способ измерения перекосов моста автоколлимационным методом с использованием лазера, установленного в начале пути, луч которого ориентирован вдоль рельсов; экрана с отверстием, установленного перед лазером; кинокамеры, фотографирующей след лазерного пучка на экране. Коллективом авторов [39] предложен способ измерений диагоналей моста во время движения крана методом линейных измерений с автоматической записью результатов. Математические зависимости боковых сил, наибольшим образом влияющих на износ ходовых колес мостовых кранов, приведены в работе [22] . Здесь также предлагается устройство, позволяющее определять развороты мостового крана в горизонтальной плоскости в процессе движения крана по подкрановому пути .

1. Математические зависимости, предложенные в рамках вышеназванных теорий и гипотез, могут быть использованы только для приближенной предварительной оценки триботехнических характеристик пары трения.

Теоретическое изучение свойств вещества в газообразном состоянии с учетом сил сцепления между молекулами и объема самих молекул весьма затруднено вследствие слабой изученности природы этих сил. Найденные на основе эксперимента математические зависимости, описывающие поведение таких газов, имеют сложный характер. Поэтому при изучении вещества в газообразном состоянии прежде всего мы займемся изучением такого воображаемого газа, у которого совсем нет сил сцепления между молекулами, а сами молекулы представляют собой материальные точки, не имеющие объема. Такой газ назван идеальным газом.

Эти уравнения могут служить для взаимной проверки точности найденных величин. Зная их и имея заданным закон движения толкателя в виде графика р (<р) (рис. 4.22, а) или соответствующей аналитической зависимости, можно решить задачу синтеза профиля кулачка, отыскав зависимость радиуса-вектора кулачка г от второй полярной координаты угла а. Если профиль кулачка задан, т. е. известна зависимость г (а), то может быть решена задача анализа и найден закон движения толкателя s (ср). Математические зависимости, связывающие геометрические и кинематические параметры, имеют следующий вид:

Проблема учета механической неоднородности при оценке работоспособности сварных соединений и конструкций всегда привлекала внимание ученых. В настоящее время наиболее полно материал по данной проблеме изложен в монографиях /4, 9/. Здесь с единых теоретических позиций представлены математические зависимости о влиянии механической неоднородности и геометрических параметров мягких прослоек нанесущую способность сварных соединений. В частности, для сварных соединений из пластин (плоская деформация) с мягкой прослойкой, геометрическая форма которой может быть самой разнообразной (рис . 1.7), получена следующая обобщающая зависимость для случая статического растяжения:

В 1878 г. Бертран показал, что, пользуясь правилом размерной однородности физических уравнений, можно находить математические зависимости между физическими величинами и в тех случаях, когда уравнения связи между этими величинами неизвестны. Математическая зависимость между такими величинами должна быть зависимостью между безразмерными комплексами, составленными из указанных величин. Бертран показал, как такие зависимости, полученные для частных случаев, распространяются на группы подобных явлений. Таким образом, он заложил основы новой науки — теории размерностей, которая рассматривает те же вопросы, что и теория подобия, но несколько в ином аспекте. Обе теории являются основой теории моделирования.

Результаты проведенных исследований позволяют сделать следующие выводы относительно последовательности решения прикладной задачи проектирования линейной колебательной системы: составляется точное математическое описание системы (модель), затем методами декомпозиции эта система по ряду признаков разбивается на определенное число подсистем меньшей размерности, далее каждая подсистема подвергается анализу на ЭЦВМ или АВМ с использованием методики планируемого эксперимента, в частности метода ПЛП-поиска. На основе такого эксперимента строятся упрощенные математические зависимости. Таким образом, для целого класса колебательных систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, проектировщик получает зависимости, позволяющие ему сразу принять то или иное проектное решение. В частности, проектировщик может "подобрать такие сочетания параметров, при которых собственные частоты системы будут находиться вне требуемого частотного интервала или амплитуды колебаний в этом интервале будут существенно уменьшены.

Рассмотрены методы многопараметрической оптимизации гидроупругих возмущений потока в неподвижных элементах гидромашин на базе модельного эксперимента. Построены математические зависимости гидродинамических характеристик потока в функции от геометрических факторов. Полученные математические модели оптимизированы методами нелинейного программирования. В результате оптимизации получены рекомендации по выбору оптимальных геометрических характеристик неподвижных элементов гидромашин.

В работах [4, 5] дана динамическая модель этой системы и выведены математические зависимости между амплитудами колебаний главного упорного подшипника (ГУН), величинами возбуж-

пространстве и ориентации кинематических пар меньше математических преобразований требуют методы приближенного синтеза по Чебышеву.

Для решения интеграла дифференциального уравнения (1) с использованием начального условия {о - OT)I-O ~ 0 функции ф(С), \/(Т-Тн) и %(С) при обработке экспериментальных исследований были представлены в виде аналитических выражению, включающих в себя модули и показатели упрочнения и разупрочнения. После математических преобразований уравнение (1) при Г. — const примет вид:

Нетрудно убедиться путем несложных математических преобразований, что соотношения (3.14) — (3.15) вырождаются в решение (3.13). Последнее свидетельствует о совпадении линий скольжения и характеристик для рассматриваемого сл>чая нагружения деформируемых тел.

После несложных математических преобразований было получено следлтошее выражение для определения Кк.

Нетрудно убедиться путем несложных математических преобразований, что соотношения (3.14) — (3.15) вырождаются в решение (3.13). Последнее свидетельствует о совпадении линий скольжения и характеристик для рассматриваемого случая нагружения деформируемых тел.

После несложных математических преобразований было получено следующее выражение для определения Кк:

При решении задач можно пользоваться тремя видами систем уравнений равновесия: (2.8), (2.9), (2.10), исходя из конкретных условий задач. Выбор той или иной системы уравнений равновесия зависит в первую очередь от легкости, рациональности решения (небольшое количество математических преобразований, отсутствие или небольшое количество вспомогательных построений на рисунке) и, в случае примерной одинаковой трудоемкости решения, — от желания, вкуса решающего.

Далее Р. Г. Геворкян указывает, что в этом случае «одна из формул, применяемых для расчета энергии, должна быть выделена как основная, ...а формулы, предназначенные для расчета других форм энергии, должны быть получены из условия dW = —dE», где Е — эталонный вид энергии, a W — классифицируемый. Однако, во-первых, «подобное соотношение может означать не превращение энергии ? в энергию И^(или наоборот), а лишь выражение требований тех законов, из которых указанное соотношение было получено путем математических преобразований», а во-вторых, это условие «является одной из формулировок закона сохранения и превращения энергии», а потому «несколько урезывает значение этого закона». И он приходит к заключению, что «необходимо иметь такое строгое определение понятия энергии, которое бы позволило сортировать различные физические величины, имеющие размерность энергии, и отделять те из них, которые являются энергией». Для того же, чтобы закон сохранения энергии «мог рассматриваться как самостоятельный опытный закон природы, определение различных видов энергии и способы их измерений должны быть даны независимо друг от друга и независимо от соотношения —dE = dW». Но и «при указанном подходе... имеется опасность некоторого увлечения».

Проверим выполнение условия d2R/dn2
Библиотека программ математических преобразований

Так как механизм, лежащий в основе агрегата, представляет собой систему с одной степенью свободы, то за движением агрегата мы можем следить по движению одного какого-нибудь его звена. Такое звено будем называть главным. За главное может быть выбрано любое звено агрегата. Но удобно выбирать то его звено, которое является общим как для машины-двигателя, так и для исполнительной машины, например таким звеном может быть главный вал поршневого двигателя, соединенный непосредственно с валом электрического генератора. Координаты, определяющие положение главного звена (угловые или линейные), будут являться обобщенными координатами в уравнении движения агрегата. Составление уравнения движения агрегата как единой материальной системы- и сведение его путем математических преобразований к движению, выделенному в системе главного звена, содержащего координаты, определяющие положение этого звена в функции от времени, и будет составлять основную задачу при изучении движения агрегата (машины) под действием заданных сил.